책읽기의 즐거움

잡기장 2017.05.24 17:08

얼마전 간만에 웹검색을 하다가 '글에 자신만의 개성을 입히는 법'(http://ppss.kr/archives/19882)이란 글을 읽게 되었다.


인상적인 문구로 '책은 이 세상 무엇과도 비교할 수 없는 남는 장사'라는 말을 보고 문득 책을 읽어야겠다는 생각이 들었다.


책 한권에는 작가의 수년에 걸친 혹은 평생에 걸친 깨달음과 지식, 경험이 녹아들어 있으니 그것을 단 몇시간에 걸쳐서 얻는 것은 시간이라는 측면에서 봤을 때 엄청나게 이익이라는 것이다.


물론 나도 책이라면 많이 읽었다. 하지만 그것이 대부분 무협지, 판타지였다는 것이 문제이다. 역사, 인문학 등 좋은 책도 많은데..., 내 머리속에는 내공, 경신술, 현경, 신검합일 뭐 그런 것들만 가득하다. 학창시절 그 좋았던 시절에 뭐 했나 싶지만 뭐 어쩌겠냐. 지금부터라도 책을 가까이해야겠다고 나름 마음을 먹어본다.


그래서 처음 잡은 책이 '문재인의 운명'이란 책이다. 집에서 몇 년 전부터 굴러다니던 책이기도 했고 (아내가 사서 아내만 읽었다) 최근 대통령 취임 후 관심이 가서이기도 하다. 특히 사인 종이를 찾는 한 초등학생 앞에 쭈그러 앉아 기다리는 모습이 계속 기억에 남는다.. 보여주기라고 할 수도 있겠지만 사람 사는 모습이 그런 것이 아니겠는가.


그런데 문재인 대통령도 책을 참 많이 읽은 분이라 나온다. 책에 의하면 문재인 대통령은 초등학교 때에는 아버지가 가끔 사다주시는 문고 등으로 책에 대한 갈증을 채웠다. 그러다 나중에 중·고등학생이 되어서는 매일 도서관에 출근하다시피 했고 닥치는 대로 책을 읽었다고 한다. 그리고 그러한 독서가 본인의 사고의 폭과 의식을 형성하는데 많은 영향을 미쳤다고 한다.



당신에게 가장 필요한 책은 당신으로 하여금 가장 많이 생각하게 하는 책이다.

마크 트웨인(Mark Twain)


The man who does not read has no advantage over the man who cannot read.

마크 트웨인(Mark Twain)



by 다크 프로그래머


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이후로 읽은 책들에 대한 개인적 기록


문재인의 운명, 2017.05

가볍게 읽기 좋았다. 문재인이란 한 사람의 삶을 보는 것도 재미있었지만 이를 통해 우리나라의 70, 80년대 근현대사를 돌아볼 수 있었던 점이 더 좋았다.


그들이 말하지 않는 23가지 - 장하준, 2017.06

부족한 경제 지식을 채울 수 있지 않을까 하는 기대로 읽었다. 하지만 어떤 내용을 설명하기보다는 본인의 견해와 입장을 설득시키는 것이 주인 책이다. 내가 뭘 알아야 동의를 하든가 할텐데.. 중간쯤 읽다가 던졌다.


월든(Walden) - 헨리 데이빗 소로우 (강승영 옮김), 2017.07

문명을 버리고 2년동안 호숫가에 통나무집을 짓고 생활한 사람의 삶의 성찰을 그린 책이다. '시 한 줄을 장식하기 위하여 꿈을 꾼 것이 아니다.'란 첫 구절부터 강렬하게 마음을 사로잡더니 한 구절 한 구절이 마음을 파고든다. 특히 우리가 물려받은 것, 가진 것이 우리가 가진 짐이다라는 말이 가슴에 남는다. 하지만 책의 중후반은 다소 지루한 면이 있으며 쉽게 읽을 수 없는 책이다. 맺음말을 보기 위해서는 인내심이 필요하다.


용선생의 시끌벅적 한국사 - 2017.07

'아빠, 미국이 우리 나라를 구해줬다면서요?', '무슨 택도없는 소리! 그건 두 나라끼리 싸우다가 일본이 전쟁에서 졌기 때문이지 미국이 우리나라를 구해주려고 그런 것은 아니다' 발끈 했지만 막상 아이에게 우리나라 역사를 설명해 주고 싶어도 뭘 제대로 아는 것이 없다. 예전부터 우리나라 근현대사 부분은 한번 공부를 해야겠다는 생각도 있었고 겸사 겸사해서 집에서 굴러다니던 시리즈 책의 근현대사 부분(8, 9, 10권)만 읽었다. 학교 다니면서는 제대로 배우지 못했던 내용들.. 조선 말 개화의 소용돌이부터 청일전쟁, 러일전쟁, 세계 열강들의 전쟁터가 되어야 했던 식민조선, 한일병합, 세계 1~2차 대전과 해방, 그리고 신탁통치와 남북분단까지 아픈 역사가 잘 그려져 있다. 형식은 아이들을 위한 책이지만 내용은 어른도 충분히 읽어볼 만하다.


걸리버여행기 - 조너선 스위프트 (신현철 옮김), 2017.08

18세기 영국의 정치와 귀족문화, 식민 제국주의를 비판하고 인간에 대한 혐오를 풍자한 책이다. 이 책도 월든 못지않게 지루하고 읽기 힘든 면이 있다. 책을 다 읽는데 한참이 걸렸다. 그렇다고 이 책의 수준이 떨어지거나 읽는 재미가 없다는 것은 아니다. 다만 내게는 그냥 읽기는 읽되 그 문장들이 머리에서만 해석되고 가슴으로는 들어오지 못했다. 그러다보니 책에 푹 빠져들지는 못했다. 인간과 시스템의 본성에 대한 얘기라고는 하지만 어쨌거나 내게는 딴 나라 얘기이다. 아마도 책을 좀더 깊게 이해하기 위해서는 문화적 공감대와 경험의 공유가 필요할 것 같다. 어쨌거나 다 읽었다는데 의의를 두고 싶다..


왜 학교에는 이상한 선생이 많은가? - 김현희, 2017.08

책을 읽는 도중 간간히 폭소를 터트렸다. 그러면서도 안타까운 현실에 가슴 한곳이 시큼해진다. 웃기면서도 슬픈 책이다. 또한 하나씩 변화를 행하는 모습에 나를 돌아보고 부끄럽게 만든다. 즐겁다고 하긴 그렇지만 나와 생각이 같음에 공감의 즐거움을 느낀다.


높고 푸른 사다리 - 공지영, 2017.09

아내가 인상깊게 읽었다고 하기에 궁금하여 읽어본 책이다. 요즘 어려운 책만 읽어서 소설로 가볍게 읽자는 마음도 있었다. 책은 어렵지 않게 잘 읽힌다. 소설이긴 하지만 과하지 않았고 현실에서 충분히 겪을 수 있는 일들로 생각된다. 다만 종교적 물음을 담고 있어서 공감에 거리가 있다. 그냥 누구에서 물어볼 것 없이 삶이 원래 그런것 아닌가 싶다. "삶은 낯선 여인숙에서의 하룻밤과 같다."...


총,균,쇠(guns, germs, and steel) - 재레드 다이아몬드 (김진준 옮김), 2017.10

지인께 세계사에 대한 책을 하나 추천해 달라고 했더니 읽어보라며 빌려 준 책이다. 700페이지가 넘는 두께지만 결국 다 읽었다.. 제목에서 풍기듯이 일반적으로 흔히 기대하는 세계사 책은 아니다. 오히려 그 기원을 다룬 책이다. 왜 현재의 세계가 현재의 세계가 되었는지, 모든 기술에서 앞섰던 중국이 왜 유럽에게 뒤처졌는지, 아프리카는 왜 지금의 모습인지, 신대륙에서 있었던 인종교체와 문명의 우열, 힘의 역사를 인과의 원리로 규명하고자 한 책이다. 세계사에 대한 지식이 아니라 세계사를 나름의 기준을 가지고 해석하고 바라볼 수 있는 하나의 눈을 얻을 수 있다.


역사의 증인 재일조선인 - 서경식 (형진의 옮김), 2017. 10

단지 재일동포라고만 알고 있었던 사람들에 대해 내가 너무 모르고 있음을 깨닫게 해준 책이다. 내가 얼마나 자기 입장에서만 생각하고 이해하는지를 세삼 깨닫는다. 일본에 살다가 해방후 그대로 일본에 남겨졌을 뿐, 남한도 북한도 아니고 그렇다고 일본인도 아닌 어느 곳에도 속하지 못한 재일조선인. 피상적으로만 알아왔던 재일조선인의 어려움과 본질, 그리고 나라가 무엇이고 민족이 무엇인지에 대해 되돌아보게 하는 책이다.



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  • joseph 2017.07.10 16:40 신고 ADDR 수정/삭제 답글

    좋은 글 잘 보고 있습니다.

    바쁜 현직에도 유용한 정보와 배울 거리를 제공해 주셔서 감사합니다.
    Gmail로 부탁 말씀하나 올렸습니다. 스팸처리되지 않을지 걱정이네요.

    바쁘시겠지만, 열람 부탁드립니다. 감사합니다.

Gram–Schmidt(그람-슈미트) 직교화

수학 이야기 2017.05.17 17:08

Gram-Schmidt(그람-슈미트) 직교화..


오늘 최적화 관련 글을 읽다가 Gram-Schmidt에 대한 내용이 나왔다. 옛날 학생 때 배웠던 것 같긴 한데 기억이 가물가물하다.


주어진 벡터들로부터 수직인 벡터들을 새로 만들어내는 방법이란 정도는 알고 있지만 명확하지 않다. '떡 본 김에 제사 지낸다'고 Gram-Schmidt 직교화에 대해 간단히 정리해 본다.



그람-슈미트(Gram-Schmidt) 직교화란?


주어진 벡터들을 이용해서 서로 수직인 벡터들을 만드는 방법이다. 좀더 고상한 말로 표현하면 주어진 벡터들에 대한 직교기저(orthogonal basis) 또는 정규직교기저(orthonormal basis)를 구하는 과정이다.

  • 그람-슈미트 직교화(Gram-Schmidt orthogonalization): 주어진 벡터 v1, v2, ... 로부터 이 벡터들을 생성할 수 있는 직교기저(orthogonal basis)를 구하는 과정
  • 그람-슈미트 정규직교화(Gram-Schmidt orthonormalization): 주어진 벡터 v1, v2, ... 로부터 이 벡터들을 생성할 수 있는 정규직교기저(orthonormal basis)를 구하는 과정


☞ 기저, 직교기저, 정규직교기저 등의 용어는 [선형대수학 #3] 고유값과 고유벡터 글 참조



그람-슈미트(Gram-Schmidt) 직교화 수식


주어진 벡터 v1, v2, ..., vk 에 대해, 이 벡터들을 생성할 수 있는 직교 벡터 u1, u2, ... 들은 다음과 같이 얻어진다 (단, proju(v)는 벡터 v를 벡터 u에 수직으로 투영한 벡터).


 --- (1)


이렇게 얻어진 u1, u2, ..., uk는 서로 수직(orthogonal)이고 벡터공간 V = {v1, v2, ..., vk}에 대한 직교기저가 된다. 그리고 이러한 과정을 그람-슈미트 직교화(orthogonalization)라 부른다.


여기서 더 나아가 ui들을 단위벡터(길이가 1인 벡터)로 만들면 e1, e2, ..., ek는 벡터공간 V의 정규직교기저(orthonormal basis)가 된다. 그리고 이러한 과정을 그람-슈미트 정규직교화(orthonormalization)라 부른다.


 --- (2)



그람-슈미트(Gram-Schmidt) 직교화 원리


그람-슈미트 직교화 원리는 2단계로 설명할 수 있다. 먼저, 벡터 v를 이용해서 u1, u2, ..., ui 모두와 수직인 벡터를 만드는 방법은 v를 벡터공간 {u1, u2, ..., ui}에 투영시킨 후 v에서 빼는 것이다. 즉, v' = v - proj{u1, ..., ui}(v)는 u1, u2, ..., ui 모두와 수직인 벡터가 된다.



그림 1. Gram-Schmidt 직교화 원리1


벡터공간 {u1, ..., ui}는 수학적으로는 u1, ..., ui의 일차결합으로 생성할 수 있는 모든 가능한 벡터들의 집합으로 정의된다. 또는 간단하게 이 벡터들을 모두 포함하는 부분공간(subspace) 또는 평면으로 생각하면 된다. v를 이 공간에 투영한 후 v에서 빼면 이 공간의 모든 벡터와 수직인 벡터가 얻어진다.


다음으로 벡터 v를 공간 {u1, ..., ui}에 투영시킨 벡터는 아래 그림과 같이 v를 u1, u2, ..., ui 각각에 투영시킨 벡터의 합으로 구해진다 (단, ui가 서로 수직인 경우).



그림 2. Gram-Schmidt 직교화 원리2


이제 원래의 식 (1)으로 돌아가 보자. 지금까지 내용을 잘 이해했다면 Gram-Schmidt 직교화 과정이 손쉽게 이해되리라 생각한다.



Gram-Schmidt 제대로 이해하기 (Q & A)


Q1. 직교화 도중에 {u1, u2, ..., ui}에 수직인 벡터를 새로 생성할 때 v를 사용하지 않고 아무 벡터나 잡아서 투영시켜도 되지 않을까? 왜 굳이 원래의 vi 들을 이용해야 하는지?


A. 안된다. v를 사용해야 한다. Gram-Schmidt 직교화가 무조건 수직인 벡터들만 만들어 내는 방법이라고 생각한다면 그건 오해이다.


입력 v1, v2, ..., vk에 대해 Gram-Schmidt를 적용하여 얻어진 u1, u2, ... 들은 v1, v2, ...., vk를 생성할 수 있는 직교기저(orthogonal basis)가 된다. 즉, u1, u2, .. 들은 벡터 v1, v2, ..., vk와 동일한 공간에 포함되면서 이 공간을 생성할 수 있는 벡터들이다. 그림 1을 보자. 왼쪽 예에서 3차원 공간을 가정하면 u와 수직인 벡터는 무한이 많이 존재한다. 그 중 v - proju(v)는 u와 v에 의해 결정되는 공간(평면)에 속한 벡터임을 확인할 수 있다. 즉, u, v에 대해 직교화로 얻은 벡터는 u, v에 의해 결정되는 부분공간(subspace)에 포함되면서 서로 수직인 벡터들이다.


Q2. 직교화는 입력 벡터의 수만 많으면 무한히 적용할 수 있는가? 즉, 무한히 많은 수의 서로 수직인 벡터들을 만들어 낼 수 있는가?


A. 그렇지 않다. 상식적으로 생각해도 n차원 공간에서 n개보다 많은 서로 수직인 벡터들이 존재할 순 없다.


입력 v1, v2, ... 벡터들이 모두 일차독립인 경우에만 Gram-Schmidt로 입력 벡터의 수와 동일한 개수의 수직 벡터들이 만들어 진다. 만일 직교화 과정 도중에 일차독립이 아닌 벡터가 입력으로 들어오면 여기서 생성된 u는 0벡터가 된다. 입력 v1, v2, ..., vk까지는 일차독립이라 하자. 그런데, 새로 들어온 벡터 vk+1이 기존의 v1, ..., vk와 일차독립이 아니라고 하자. 즉, vk+1이 v1, ..., vk로 이루어진 공간에 포함된 벡터라고 가정하자. 그러면 vk+1에서 {v1, ..., vk}에 내린 투영벡터는 자기 자신이 된다. 따라서 u = vk+1 - proj{v1,...,vk}(vk+1) = 0이 된다.


Gram-Schmidt 과정 도중에 영벡터가 나온다면 이를 무시하고 다음 입력 벡터로 넘어가거나 또는 차원의 개수만큼 수직 벡터가 얻어졌으면 직교화 과정을 종료한다.


by 다크 프로그래머


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  • 궁굼 2017.09.08 12:32 신고 ADDR 수정/삭제 답글

    그람슈미트를 진행할 때 벡터가 아무거나 주어져도 되는건가요? 아니면 그 벡터들이 기저여야만 하는건가요??

    • BlogIcon 다크pgmr 2017.09.08 14:22 신고 수정/삭제

      벡터들은 아무거나 주면 됩니다. 그러면 그 벡터들을 생성할 수 있는 직교 기저를 만들어 줍니다.

곱셈과 덧셈

수학 이야기 2017.04.26 13:43

초등학교 다니는 아이가 있다.


아빠, 수학 문제 하나 내주세요


그래.. 7 곱하기 8이 뭐지?


음... 몰라요


그럼, 5 곱하기 3은?


15?


그래, 왜 그렇지?


보세요, 5가 3개 있으니까 5 + 5 + 5 해서 15 잖아요


오 대단한데. 곱셈은 이제 완벽하게 이해했구나? ^^


☞ 수학은 (모든 공부도 마찬가지) 원리와 이해가 중요하다고 알지만 막상 실천은 어렵습니다. 어른들은 유치원 정도 어린아이가 구구단을 줄줄 외면 기특하다며 놀라워합니다. 하지만 구구단을 줄줄 외는 것보다는 곱셈이 무엇인지 이해하는게 백만배 더 대단합니다. 많은 초등학생들이 학습지를 합니다. 좋은 학습지도 있겠지만 대다수의 학습지는 반복연습을 통한 문제풀이의 숙달입니다. 아이가 풀고 있는 학습지를 본인도 직접 풀어봤는지 궁금합니다. 숙달도 중요하지만 그만큼 무언가를 차분히 생각할 시간은 줄어듭니다. 저는 아이가 방바닥에 드러누워 손가락만 빠는 시간도 무척 좋은 시간이라고 생각합니다. 이리 뒹글 저리 뒹글하면서 뭔가는 생각하고 있겠지요.


by 다크 프로그래머


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  • jimsjoo 2017.04.27 11:29 신고 ADDR 수정/삭제 답글

    안녕하세요. 수학을 좋아하는 데, 수학은 못하는 사람입니다. 예전부터 궁금한 게 있는데, 시계의 초침의 속도/속력을 어떻게 계산하나요? 무의미한 질문일 것같은데, 종종 초침이 움직이는 걸 보면 속도가 궁금하더군요. 포스팅과 무관한 질문입니다.

    • BlogIcon 다크pgmr 2017.04.27 16:23 신고 수정/삭제

      안녕하세요. 속력(speed)은 비교적 간단하지만 속도(velocity)는 조금 복잡한 과정을 거쳐야됩니다. 그리고 초침의 끝점(ending point)의 속도/속력을 말씀하는 것이지요?
      1. 먼저 속력은 초침이 60초에 2*pi*r (초침 끝점이 그리는 원주의 길이)만큼 이동하기 때문에 속력 = 1/30*pi*r/second가 됩니다 (단, pi는 원주율, r은 초침의 길이).
      2. 속도는 방향성을 갖기 때문에 초침 끝점의 속도는 (vx, vy)와 같이 2차원 벡터로 표현됩니다 (단, vx는 x축 방향으로의 속도, vy는 y축 방향으로의 속도). 또한 속도를 정의하기 위해서는 방향을 정하기 위해 좌표축이 먼저 정의되어야 합니다. 편의상 시계의 중심을 원점, 3시 방향을 x축, 12방향을 y축 증가방향으로 잡아보겠습니다. 또 하나의 고려사항은 매 초마다 초침의 이동방향이 바뀌기 때문에 속도가 하나의 고정된 값이 아니라 시간에 종속되어 변한다는 점입니다. 초침의 속도를 구하는 방법은 초침의 위치를 시간 t에 대한 함수로 구한 후 이를 시간 t로 미분하면 됩니다. 초침은 1초에 6도씩 이동하므로 현재 시간이 t초일 때 초침이 12시 방향과 이루는 각도는 6*t 도(degree)이고 이를 라디언(radian)으로 변환하면 pi/30*t radian이 됩니다. 따라서 시각 t초에서의 초침 끝의 좌표는 (r*sin(pi/30*t), r*cos(pi/30*t))가 됩니다. 따라서 시각 t초에서의 초침의 속도는 (pi/30*r*cos(pi/30*t), -pi/30*r*sin(pi/30*t))가 됩니다. 예를 들어, 초침이 3시 지점을 지날 때 즉, t = 15일 때 초침 끝점의 속도는 t = 15를 대입하면 (0, -pi/30*r)이 나옵니다.