원의 면적과 구의 부피

수학 이야기 2013. 1. 28. 15:51

본 포스팅은 적분의 기본 개념을 설명한 고구마와 적분 글의 연장선상에 있으며 적분의 개념이 수학적 문제들을 해결하는데 어떻게 활용될 수 있는지 몇 가지 예를 들어 설명하고자 합니다. 먼저 고구마와 적분 파트를 읽어보시길 추천합니다.


부채꼴의 호의 길이를 알면 부채꼴의 면적을 구할 수 있습니다. 또한 원의 둘레의 길이를 알면 원의 면적을 손쉽게 구할 수 있습니다. 마찬가지로 구의 겉넓이를 알면 구의 부피도 금방 나옵니다. 모두 적분의 개념만 적용하면 눈 깜작할 사이에 계산할 수 있는 문제들입니다.


먼저, 반지름이 1, 호의 길이가 2인 부채꼴이 있다면 이 부채꼴의 넓이는 얼마일까요?


부채꼴을 삼각형이라 놓고 밑변(호) x 높이(반지름) x 1/2 로 풀면 바로 답이 나옵니다. 그래서 답은 2 x 1 x 1/2 = 1이 됩니다. 부채꼴은 삼각형이 아닌데 왜 삼각형으로 놓고 푸는 걸까요?



위 그림과 같이 피자 조각을 나누듯 부채꼴을 잘게 나누면 거의 삼각형처럼 볼 수 있습니다. 이 때 삼각형의 밑변은 나뉘어진 호의 길이가 되며 높이는 반지름이 됩니다. 즉, 부채꼴을 나눈 한 조각의 넓이는 li x r x 1/2로 근사됩니다 (단, li는 조각의 호의 길이, r은 부채꼴 반지름, l은 원래 부채꼴 호의 길이) . 따라서 원래 부채꼴의 넓이는 이들 조각을 다 합쳐서

l1 x r x 1/2 + l2 x r x 1/2 + ... + ln x r x 1/2

= (l1 + l2 + ... + ln) x r x 1/2

= l x r x 1/2

이 됩니다.


그런데, 한편으로 이런 의문도 듭니다.

아무리 잘게 잘라도 부채꼴은 부채꼴이지 왜 삼각형이냐?

잘게 자른다고 부채꼴이 삼각형이 되는건 아니겠지만 아래 그림과 같이 면적은 같은 것 같습니다. 



이제 원으로 넘어가 보겠습니다.

부채꼴과 마찬가지입니다. 원의 반지름이 r, 원의 둘레의 길이가 l이라면 원의 면적은 l x r x 1/2 = lr/2입니다.

즉, 원의 면적은 원의 반지름 x 원의 둘레의 길이 / 2 인 셈입니다.

(이걸 역으로 생각하면 원의 둘레의 길이 = 2 x 원의 면적 / 반지름이 됩니다)

그런데, 원의 둘레의 길이는 l = 2×pi×r이므로,

원의 면적 = l×r/2 = (2×pi×r)×r/2 = pi×r^2 이 됩니다.


마직막으로 구에 대해 살펴보겠습니다.

구는 평면이 아닌 공간에서 생각해야 합니다. 이번에는 어떻게 나누면 될까요?

그림으로 그리기가 대략 난감하므로 마음속에서 상상의 그림을 그려주시기 바랍니다. ^^

구의 중심을 꼭지점으로 하는 삼각뿔 형태로 조각을 내 보도록 하겠습니다.

원뿔, 사각뿔, 오각뿔 모두 관계 없습니다만, 빈 공간 없이 촘촘하게 조각을 내려면 삼각뿔이 가장 적합합니다.

삼각뿔의 부피는 밑면의 면적 x 높이 x 1/3입니다. (왜 그럴까요?)

삼각뿔로 잘게 쪼개면 삼각뿔의 높이를 구의 반지름과 같게 생각할 수 있습니다.

그리고 삼각뿔들의 밑면의 면적을 모두 합하면 구의 겉넓이가 됩니다.

따라서 삼각뿔들의 부피의 합은 구의 겉넓이 x 반지름 x 1/3이 됩니다.

즉, 구의 부피 = 구의 겉넓이 x 구의 반지름 x 1/3인 셈입니다.


그런데 문제는 구의 부피나 구의 겉넓이 둘 중의 하나는 알고 있어야 하겠네요 ^^;

제 기억으로 구의 겉넓이는 4*pi*r^2, 부피는 4/3*pi*r^3였던 것 같은데 아마도 맞겠죠?


by 다크 프로그래머


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수학 공식에 대한 생각

수학 이야기 2013. 1. 28. 15:46

어떤 사람들은 수학 공식을 암기하라고 하고 또 어떤 사람은 수학 공식을 외우지 마라고 합니다. 모두 맞는 말입니다. 수학 공식을 알고 있고 그 활용법도 잘 알고 있다면 정말 많은 도움이 됩니다.




저 같은 경우는 수학 공식을 보면 먼저 이해하려고 했던 것 같습니다. 왜 이런 공식이 나왔을까 하며 나름 증명을 해 보려고도 하고 또 증명이 잘 안되면 직관적으로라도 이해해 보려고 노력했었습니다. 그러다 정 안되면 책에 나와있는 설명이나 유도과정 등을 참조했습니다. 그러다 보니 특별히 외우려고 노력하지 않아도 공식이 자연스럽게 암기가 되더군요. 


그래도 사람의 기억력이라는게 한계가 있어서 시간이 지나면 햇갈리기도 하고 까먹기도 합니다. 그래서 나중에 문제를 풀다 보면 또 공식이 잘 기억이 안나는 경우가 있습니다. 그러면 머리를 쥐어짜며 그게 머였더라 하며 한참 괴로워하다가 기억이 정 안나면 시간이 걸리긴 하지만 공식을 처음부터 유도해 봅니다. 스스로 공식을 유도하는 것도 실패하면 어쩔수 없이 수학책을 찾아봅니다만 그러면 기분도 좀 나쁘고 자존심도 상하는 일입니다. 그런데 이렇게 몇 번만 하다보면 뭐든 자연스럽게 몸에 익혀지는 것 같습니다. 정 이해가 안되는 능력 밖인 공식들은 저도 달달달 외었답니다 ^^.


세월이 많이 지난 지금도 왠만한 수학 문제는 풀이가 가능합니다. 그리고 제가 하는 일이 연구직이다 보니 이러한 수학적 자산은 과학적 문제를 푸는데 많은 도움이 되고 있습니다.


by 다크 프로그래머

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고구마와 적분

수학 이야기 2013. 1. 28. 15:45

'당신 고구마 부피 잴 수 있어?' '물에다 넣는거 말고 수학적 방법으로 말야' '난 잴 수 있어. 적분이 무엇인지만 제대로 알고있다면 누구라도 잴 수 있어'. 어제 아내에게 했던 이야기입니다. 그러고는 고구마의 부피를 재는 방법을 쭈욱 설명해 주었습니다.  설명을 듣고 아내가 재미있다고 합니다. 참고로 아내는 수학하고는 담을 쌓고 살아온 사람입니다.




오늘은 고구마의 부피를 칼과 30cm자만 가지고 재는 방법에 대해 얘기해 보겠습니다.


먼저 칼로 고구마를 동심원 형태로 고르게 토막토막 자릅니다. 이제 각 토막을 살펴보면 일종의 기둥 형태임을 알 수 있습니다. 기둥의 부피는 단면적에 높이를 곱하면 나옵니다. 각 고구마 토막의 높이(두께)는 자로 재면 나오기에 이제 단면적만 알면 고구마 부피를 알게 됩니다. 자 이제 여기서 살펴보면, 처음의 부피를 구하는 어려워 보였던 문제가 이제는 단면적을 구하는 조금더 쉬운 문제로 변했습니다.


단면적을 구하는 방법도 비슷합니다. 각 고구마 토막을 눕혀놓고 이번에는 생체 썰듯이 자릅니다. 그러면 원래의 원형의 단면이 여러개의 기다란 직사각형 형태의 조각들로 나뉘게 됩니다. 각 조각의 면적은 30cm 자를 이용하면 계산할 수 있습니다. 이렇게 계산된 각 조각의 면적을 더하면 토막의 단면적이 나오고 따라서 각 토막의 부피가 나옵니다.


물론 각 조각이 정확히 직사각형이 아니고 또한 각 토막도 정확한 기둥이 아니기에 이렇게 계산된 고구마 부피는 다소의 오차를 포함하게 됩니다. 하지만 만일 고구마를 아주 촘촘하게 토막을 내서 부피를 측정한다면 이 오차는 크게 줄어들 것입니다. 이걸 무한히 작게 잘라서 부피를 측정한다면 그것이 수학에서 말하는 적분입니다. 적분은 나누어(분) 합친다(적)는 말로서 부피 뿐만 아니라 면적, 길이 등 그 어떤 것을 재는데도 적용될 수 있습니다.


집에 자녀가 있는 분이라면 오늘 한번 자녀와 함께 고구마의 부피를 재보세요. 고구마가 없으면 오이, 호박, 사과, 그 어떤 것이라도 좋습니다. 물에 넣어서 잰 부피와 칼로 잘라서 잰 부피가 얼마나 다른지 직접 한번 비교해 보세요. 적분은 고등학교에서 배우지만 초등학생이더라도, 굳이 적분이란 용어를 몰라도 관계없습니다. 아이들에게 좋은 경험이 되리라 생각됩니다.


by 다크 프로그래머

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