역수와 역행렬

3의 역수는? 1/3

그럼 '역수'란? ...

역수를 구하는 방법은 알아도 역수가 무엇인지는 모르는 경우가 많다.

마찬가지로 역행렬이 무엇인지 물어보면,

학생 1) 1/(ad-bc) * [d -b; -c a]

학생 2) 곱해서 항등행렬(I)이 나오는 행렬

물론 두번째 대답이 정확한 대답이다. 만일, 이와 같이 바로 답할 수 있다면 이 학생의 수학실력이나 앞으로의 공부에 대해서는 걱정할 필요가 없을 듯 하다.

그런데, 학생 2와 같이 대답한 경우에도 사실은 한번 더 확인할 필요가 있다. 그걸 그냥 지식처럼 알고 있는 것인지, 아니면 정말 이해한 것인지

만일 대학생에게 두 행렬의 곱 AB의 역행렬이 무엇이냐고 물어보면 아마도 대부분 B^-1A^-1라고 자신있게 대답할 것이다 (물론, A^-1B^-1인가? 하는 학생도 분명 있다). 하지만, B^-1A^-1가 역행렬인 이유를 증명해봐라 하면 대부분 당황해 한다.

'증명'이라는 말만 들어도 사고기능이 정지하는 경우도 있고 역행렬의 의미를 제대로 이해하고 못한 경우도 있을 것이다. 하지만 그 증명은 정말 간단하다.

증명: AB에 B^-1A^-1를 곱하면 AB * B^-1A^-1 = I이다. 따라서, AB의 역행렬은 B^-1A^-1이다. 끝.

역행렬의 정의를 정확히 이해하고 있다면 당연히 풀수 있는 문제이다. 또한 역행렬의 정의를 안다면 AB의 역행렬이 A^-1B^-1인지 B^-1A^-1인지 혼동할 이유도 암기할 이유도 없다. 그리고, 정의로부터 kA의 역행렬은 1/kA^-1, ABC의 역행렬은 C^-1B^-1A^-1, PAP^-1의 역행렬은 PA^-1P^-1, 대각행렬 diag{c1, c2, ..., cn}의 역행렬은 diag{1/c1, ..., 1/cn}임도 손쉽게 알 수 있다.

☞ 어떤 수의 역수는 자신과 곱해서 (곱셈에 대한 항등원인) 1이 나오는 수입니다.

☞ 2018.8.14일자 댓글을 참고로 적습니다: 두 행렬의 곱 P = AB가 full-rank square matrix 일 때 inv(P)가 존재하고, 또한 A와 B 각각은 full-rank square matrix가 아닐수도 있으므로 inv(A)나 inv(B)는 존재하지 않을 수도 있습니다. 따라서 만약 AB의 역행렬이 존재한다면 그것의 정확한 표기는 inv(B)*inv(A)가 아니라 inv(AB) 라고 해야합니다.

by 다크 프로그래머