원을 한바퀴 돌면 360도라는 것은 누구나 알고 있습니다. 그렇다면 구 전체를 돌면 몇 도일까요?

흔히 2차원 평면에서는 넓이를 말하고 3차원 공간에서는 부피를 말합니다.

우리가 사용하는 각도는 2차원 평면에서만 정의되는 개념입니다. 그런데, 각도를 3차원 공간으로 확장하면 어떻게 될까요?

부피라는 개념을 각에도 적용할 수 있지 않을까요?

예를 들어서, 길쭉한 형태의 원뿔들이 무수히 많이 있습니다. 이 원뿔들을 서로 붙이는데, 원뿔의 꼭지점들이 한 점에서 만나도록 원뿔들을 서로 붙여서 구 형태를 만든다고 상상해 보겠습니다. 그러면 구를 이루는데 필요한 원뿔의 개수는 몇개나 될까요?

아시다시피 구를 이루는데 필요한 원뿔의 개수는 원뿔의 크기나 길이와는 무관하며 원뿔이 얼마나 뾰족한가, 즉, 원뿔의 뿔 부분의 각이 얼마나 되는가와만 관계됩니다.

이를 바꾸어 말하면, 각각의 원뿔들은 특정 부피의 각을 가지고 있고 이들 부피의 각들이 모두 모여서 구에 해당되는 각을 이룬다고 볼 수 있습니다. 이 때, 이 구의 각은 원에서의 360도를 3차원 부피 공간으로 확장한 개념으로 볼 수 있습니다.

물론 아직 수학적으로 각에 부피라는 개념은 없습니다. 하지만 3차원, 더 나아가서는 n차원에서 수학적으로 각을 정의하고 계산할 수 있다면 새로운 수학적 발견이 될 것입니다 ^^

예를 들어서, 어떤 원뿔 형태의 빈 공간이 있고 이 공간을 가느다란 원뿔 조각들을 이용하여 매꾼다고 했을 때, 필요한 원뿔 조각의 개수를 알고 싶다고 해 보죠. 그럴 때, '원래 빈 공간의 각의 부피가 a, 원뿔 조각의 각의 부피가 b이므로 필요한 원뿔 조각의 개수는 최대 a/b 개이다' 라는 식으로 문제를 해결할 수 있을 것입니다.

예전에 전국 고교수학경시대회에 나왔던 문제가 있습니다.

'3차원 공간에서 한 점에서 만날 수 있는 직선들은 최대 몇 개인가? 단, 어느 두 직선도 최소 30도 이상은 서로 떨어져 있어야 한다.'

당시 문제를 풀다가 시간에 쫒겨서 다 풀지는 못했지만 어쨌든 구의 부피를 뿔의 각이 30도인 원뿔의 부피로 나누는 방식으로 푸는 문제입니다. 답은 이 글을 읽는 분들의 몫으로 남기겠습니다 ^^

☞ 아래 댓글을 보고 steradian이라고 하는 3d에서의 각의 단위가 이미 정의되어 있음을 알게 되었습니다. 찾아보니 1 steradian은 반지름이 r인 구의 표면에 면적이 r²인 도형을 그렸을 때 이 도형에 대응하는 중심각의 크기입니다. 따라서, 3d에서 구 전체에 해당하는 각은 구의 겉넓이가 4πr²이므로 4πr²/r² = 4π steradian 입니다. steradian에 대한 자세한 내용은 위키피디아를 참조해 주세요.