[선형대수학 #3] 고유값과 고유벡터 (eigenvalue & eigenvector)

수학 이야기 2013.10.16 14:35

선형대수학에서 고유값(eigenvalue)과 고유벡터(eigenvector)가 중요하다고 하는데 왜 그런 것인지 개인적으로도 참 궁금합니다. 고유값, 고유벡터에 대한 수학적 정의 말고 이런 것들이 왜 나왔고 그 본질이 무엇인지에 대한 직관이 있으면 좋을텐데요..


아직은 딱히 이것 때문이다라고 결론지을 수는 없지만 고유값, 고유벡터 그 자체의 활용보다는 SVD(특이값분해), Pseudo-Inverse, 선형연립방정식의 풀이, PCA(주성분분석) 등의 주요 응용이 eigenvalue, eigenvector를 그 밑바탕에 깔고 있기 때문은 아닌가 생각하고 있습니다.


이 글에서는 먼저 고유값, 고유벡터 자체에 대한 개념만 살펴보고 SVD, 선형연립방정식, PCA 등에 대해서는 별도 글로 자세하게 다룰 예정입니다.



1. 고유값, 고유벡터란?


고유값(eigenvalue), 고유벡터(eigenvector)에 대한 수학적 정의는 비교적 간단하다.


행렬 A를 선형변환으로 봤을 때, 선형변환 A에 의한 변환 결과가 자기 자신의 상수배가 되는 0이 아닌 벡터를 고유벡터(eigenvector)라 하고 이 상수배 값을 고유값(eigenvalue)라 한다.


즉, n x n 정방행렬(고유값, 고유벡터는 정방행렬에 대해서만 정의된다) A에 대해 Av = λv를 만족하는 0이 아닌 열벡터 v를 고유벡터, 상수 λ를 고유값이라 정의한다.


 ---(1)


--- (2)


좀더 정확한 용어로는 λ는 '행렬 A의 고유값', v는 '행렬 A의 λ에 대한 고유벡터'이다.


즉, 고유값과 고유벡터는 행렬에 따라 정의되는 값으로서 어떤 행렬은 이러한 고유값-고유벡터가 아에 존재하지 않을수도 있고 어떤 행렬은 하나만 존재하거나 또는 최대 n개까지 존재할 수 있다.



2. 기하학적 의미


기하학적으로 봤을 때, 행렬(선형변환) A의 고유벡터는 선형변환 A에 의해 방향은 보존되고 스케일(scale)만 변화되는 방향 벡터를 나타내고 고유값은 그 고유벡터의 변화되는 스케일 정도를 나타내는 값이다.



예를 들어 지구의 자전운동과 같이 3차원 회전변환을 생각했을 때, 이 회전변환에 의해 변하지 않는 고유벡터는 회전축 벡터이고 그 고유값은 1이 될 것이다.



3. 고유값분해를 이용한 대각화 - eigendecomposition


고유값, 고유벡터는 정방행렬의 대각화와 밀접한 관련이 있다 (eigendecomposition은 정방행렬에 대해서만 가능함)


먼저 대각행렬과의 행렬곱에 대해 살펴보면, 대각행렬을 뒤에 곱하면 행렬의 열벡터들이 대각원소의 크기만큼 상수배가 된다(뒤에 곱하면 행벡터들이 상수배가 된다). 예를 들어, 3 x 3 행렬의 경우를 보면 다음과 같다.


 --- (3)


행렬 A의 고유값, 고유벡터들을 λi, vi, i = 1, 2, ..., n이라 하자.


 --- (4)


이제 식 (4)를 한꺼번에 표현하여 정리하면


 --- (5)


가 성립함을 알 수 있다.


즉, 행렬 A의 고유벡터들을 열벡터로 하는 행렬을 P, 고유값들을 대각원소로 하는 대각행렬을 Λ라 하면 다음 식이 성립한다.


--- (6)

즉,  --- (7)


이와같이 행렬 A는 자신의 고유벡터들을 열벡터로 하는 행렬과 고유값을 대각원소로 하는 행렬의 곱으로 대각화 분해가 가능한데 이러한 대각화 분해를 eigendecomposition이라고 한다.


한 예로, A = [1 1 0; 0 2 1; 0 0 3]인 경우 A는 다음과 같이 대각화가 가능하다.


 --- (8)



모든 정방행렬이 이런 방식의 eigendecomposition이 가능한 것은 아니지만 대각화 가능한 경우는 뒤에 적기로 하고 일단은 대각화를 하면 어떤게 좋은지 알아보자.


행렬 A의 eigendecomposition을 알면 행렬식 값 det(A), A의 거듭제곱, 역행렬, 대각합(trace), 행렬의 다항식 등을 매우 손쉽게 계산할 수 있다.


 --- (9)


 --- (10)


--- (11)


 --- (12)


--- (13)



4. 고유값분해(eigendecomposition) 가능조건 - 일차독립


앞서 말했지만 모든 정방행렬이 고유값분해가 가능한 것은 아니다. n x n 정방행렬 A가 고유값분해가 가능하려면 행렬 A가 n개의 일차독립인 고유벡터를 가져야 한다.


선형대수학에서 말하는 일차독립(linearly independent)이란 무엇일까?


어떤 벡터들의 집합 {v1, ..., vn}이 있을 때, 이들 벡터들 중 어느 한 벡터도 다른 벡터들의 일차결합으로 표현될 수 없으면 이 벡터들은 서로 일차독립이라고 정의한다.


벡터들의 일차결합이란 a1v1 + a2v2 + ... + anvn (ai는 상수)와 같이 상수를 곱하여 합친 형태를 말한다.


예를 들어 3차원 공간의 좌표축 단위벡터들인 v1 = (1,0,0), v2=(0,1,0), v3=(0,0,1)를 생각해 보면 v2, v3에 어떤 상수를 곱하여 더해도 v1이 나올수 없음은 쉽게 확인할 수 있다. 이와 같이 어떤 벡터도 다른 벡터들의 상수배 합으로 표현될 수 없으면 이 벡터들은 서로 일차독립(linearly independent)이라고 한다.


참고로 n차원 공간은 최대 n개의 일차독립인 벡터들을 가질 수 있으며 n개의 일차독립인 벡터들은 이 공간을 생성하는 기저(basis) 역할을 수행한다.


위 예에서, 3차원 공간에서 좌표축 단위벡터들의 집합 {v1, v2, v3}는 일차독립이지만 여기에 v4 = (-1, 3, 4)를 추가한 {v1, v2, v3, v4}는 일차독립이 아니다 (∵ v4 = -v1+3*v2+4*v3). 즉, 3차원 공간에서 가능한 일차독립인 벡터들의 개수는 최대 3개이다.


또한 v1, v2, v3를 자세히 보면 이 벡터들을 이용하여 3차원 공간의 모든 (x, y, z) 좌표를 생성할 수 있음을 알 수 있다. 어떤 일차독립인 벡터들의 집합 {v1,...,vn}의 일차결합을 통해 어떤 공간의 모든 좌표를 생성할 수 있으면 이 벡터들을 이 공간의 기저(basis)라고 정의한다.


다시 원래 문제로 돌아가서, n차 정방행렬이 고유값분해가 가능하려면 n개의 일차독립인 고유벡터가 존재해야 한다고 했는데 이게 무슨 말인지 아직은 마음에 확 와닿지는 않을 것이다. 그건 고유값, 고유벡터가 어떻게 계산되는지 그 과정에 대한 이해가 필요하기 때문이다.



5. 고유값, 고유벡터의 계산


고유값과 고유벡터를 정의하는 식인 식 (1)으로 다시 돌아가서 이를 v에 대해 정리해보면 다음과 같다.


 --- (14)


우리가 구하고자 하는 고유값, 고유벡터는 식 (14)를 풀어서 나오는 λ와 v이다 (단, v0). 그런데, 식 (14)를 잘 보면 (A-λE)의 역행렬이 존재한다면 v는 항상 v = (A-λE)-10 = 0 만을 해로 갖게 된다. 그런데, 고유벡터는 정의에 의해 영벡터가 아닌 백터여야 하므로 A-λE의 역행렬이 존재하지 않는 경우에만 존재할 수 있다. 따라서, 고유벡터가 존재하기 위해서는 일단은 det(A-λE) = 0 이어야 한다.


 --- (15)


이 때, 식 (15)를 행렬 A의 특성방정식(characteristic equation)이라고 부르며 식 (15)를 λ에 대해 풀면 A의 고유값을 구할 수 있다. 고유벡터는 이렇게 구한 λ를 다시 식 (14)에 대입하여 계산한다.


[예]

다음과 같은 행렬 A에 대한 고유값, 고유벡터를 계산해 보자.


 --- (16)


이 때, 행렬 A를 식 (14)에 대입하여 특성다항식을 구해보면


 --- (17)


이므로 특성방정식은 (2-λ)(1-λ)2 = 0 이 된다.


 --- (18)


이제 특성방정식의 해는 λ = 1, 2인데 잘 보면 λ=2는 단일근임에 비해 λ=1은 이중근임을 알 수 있다. λ에 대응하는 고유벡터의 개수는 λ가 몇중근이냐와 밀접한 관계가 있는데 단일근에 대해서는 1개, 이중근에 대해서는 최대 2개, 삼중근에 대해서는 최대 3개, ... 의 고유벡터가 존재한다.


먼저 λ = 2를 다시 식 (14)에 대입하여 고유벡터를 구해보면,





 --- (19)


따라서, λ = 2에 대응하는 고유벡터는 v = [1, 1, 0]T 이다.


마찬가지로, λ = 1에 대해서도 고유벡터를 구해보면



--- (20)


x좌표가 z좌표의 2배인 벡터들은 무수히 많은데 이들은 [2, 0, 1], [0, 1, 0]의 일차결합으로 표현할 수 있으므로 λ = 1에 대응하는 고유벡터를 [2, 0, 1]과 [0, 1, 0] 으로 잡을 수 있다.


☞ x좌표가 z좌표의 2배인 임의의 벡터는 [2t, s, t]로 표현할 수 있다 (단, t, s는 임의의 실수). 그런데, 이는 [2t, s, t] = t*[2, 0, 1] + s*[0, 1, 0]와 같이 [2, 0, 1]과 [0, 1, 0]의 일차결합으로 표현될 수 있다.


아마도 이 시점에서 고유값은 어떻게 구하는지 알겠는데 고유벡터는 뭔가 좀 애매하다고 느끼는 분들이 많을 것으로 예상한다. 그 이유는 어떤 행렬에 대해 고유값은 유일하게 결정되지만 고유벡터는 유일하지 않기 때문이다. 이는 다음 내용을 보면 알 수 있다.


식(1)의 양변에 상수 c를 곱해보면,


 --- (21)


가 되므로 v가 λ에 대한 고유벡터이면 0이 아닌 임의의 상수 c에 대해 cv도 또한 λ에 대한 고유벡터임을 알 수 있다.


또한, v1, v2가 모두 고유값 λ에 대응하는 고유벡터라고 하면 임의의 상수 c1, c2에 대해


 --- (22)


이므로 c1v1 + c2v2 또한 λ에 대한 고유벡터가 됨을 알 수 있다.


따라서 고유벡터는 식 (19), 식 (20) 등과 같은 제약조건을 만족하는 벡터들 중에서 어느 벡터를 사용해도 무방하나 보통은 벡터의 크기를 1로 정규화한(normalized) 단위벡터를 고유벡터로 잡는 것이 일반적이다. 단, 식 (20)의 경우에는 자유도(degree of freedom)가 2이기 때문에 일차독립인 2개의 고유벡터를 잡아야만 가능한 모든 고유벡터들을 대표할 수 있다.


이제 이렇게 구한 고유값, 고유벡터에 대해 아래와 같은 행렬 대각화가 정말로 성립함을 matlab 또는 손계산을 이용하면 쉽게 확인할 수 있다 (또한 고유벡터들의 스케일을 바꾸거나 순서를 바꾸어도 대각화가 성립함도 확인할 수 있다).


 --- (23)



6. 대칭행렬(symmetric matrix)과 고유값분해


정방행렬들 중에서 대각원소를 중심으로 원소값들이 대칭되는 행렬 즉, AT = A (모든 i, j에 대해 aij = aji)인 행렬을 대칭행렬(symmetric matrix)이라 부른다.


그런데, 대칭행렬은 고유값 분해와 관련하여 매우 좋은 성질 2가지를 가지고 있다. 실원소(real-valued) 대칭행렬은 항상 고유값 대각화가 가능하며 더구나 직교행렬(orthogonal matrix)로 대각화가 가능하다는 매우 좋은 성질을 가지고 있다.


 --- (24)

단, 


즉, 모든 대칭행렬은 위 식 (24)와 같이 직교행렬을 이용한 고유값 대각화가 가능하다 (증명).


☞ 위 성질은 원소값이 실수(real number)인 경우에 항상 성립하는 성질이며 만일 원소값이 복소수(complex number)인 경우에는 유니터리(unitary) 행렬로 항상 대각화 가능하다. 그런데 사실 직교행렬을 복소수 공간에서 정의한 것이 유니터리 행렬이기 때문에 대칭행렬은 항상 대각화 가능하다고 생각하면 된다.


이렇게 따로 대칭행렬의 대각화에 대해 단락을 구분하여 적는 이유는 선형대수학에서 워낙 중요한 성질이기 때문이다. 대칭행렬(symmetric matrix)의 이러한 성질은 특이값분해(SVD), 주성분분석(PCA) 등에서 가장 기본이 되는 성질로 활용된다.


모든 정방행렬이 고유값 분해가 가능한 것은 아니지만 대칭행렬은 항상 고유값 분해가 가능하며 더구나 직교행렬로 대각화가 가능함을 기억하자.



※ 직교(orthogonal)와 정규직교(orthonormal), 그리고 직교행렬(orthogonal matrix)


orthogonal과 orthonormal이 서로 용어가 혼동되기 쉬운데 두 용어의 차이를 명확히 할 필요가 있다. 


먼저, 벡터에 대해 얘기를 해 보면 두 벡터 v1, v2가 서로 수직이면(즉, v1·v2 = 0) 두 벡터 v1, v2는 서로 orthogonal 하다고 한다. 그리고 v' = v/∥v∥와 같이 어떤 벡터를 크기가 1인 단위벡터로 만드는 것을 정규화(normalization)라고 한다. orthonormal이라는 말은 orthogonal과 normal이 합쳐진 말로서 두 벡터 v1, v2가 모두 단위벡터(unit vector)이면서 서로 수직이면 두 벡터 v1, v2는 orthonormal(정규직교)하다고 한다.

  • orthogonal: v1·v2 = 0

  • orthonormal: v1·v2 = 0  &  ∥v1∥ = 1, ∥v2∥ = 1


즉, orthogonal, orthonormal은 벡터들 사이의 관계를 나타내는 말인데, 이게 행렬로 넘어가면 조금 의미가 달라진다.


먼저, 행렬에서는 직교행렬(orthogonal matrix)이라는 말은 있어도 정규직교행렬(orthonomal matrix)이라는 말은 없다. 흔히 orthonomal matrix라는 표현을 쓰는데 이는 잘못된 것이며 orthogonal matrix (직교행렬)가 올바른 용어이다.


직교행렬(orthogonal matrix)의 수학적 정의는 자신의 전치행렬(transpose)를 역행렬로 갖는 정방행렬이다.



--- (25)


이와 같이 직교행렬(orthogonal matrix)은 transpose를 시키면(행렬의 열과 행 원소들을 서로 바꾸면) 자신의 역행렬이 되기 때문에 다양한 선형대수학 계산에서 매우 편리한 성질을 가진 행렬이다.


그런데, 직교행렬의 열벡터들은 서로 orthonomal(정규직교)한 성질을 가지고 있다. 즉, 직교 행렬를 구성하는 열벡터들을 v1, v2, ..., vn이라 했을 때 이들은 모두 단위벡터(unit vector)이면서 또한 서로 서로 수직인 성질을 갖는다. 이는 식 (25)로부터 쉽게 도출될 수 있다.


 --- (26)


이러한 성질은 열벡터가 아닌 행벡터들에 대해서도 동일하게 성립한다 (즉, 행벡터들도 서로 orthonormal 하다).


즉, 직교행렬(orthogonal matrix)은 그 행렬을 구성하는 열벡터(행벡터)들이 서로 수직(orthogonal)이면서 크기가 1인 (normal한) 행렬로도 정의될 수 있다.


이상의 내용을 정리하면 다음과 같다.

  • 벡터들이 orthogonal하다: 서로 수직이다
  • 벡터들이 orthonormal하다: 서로 수직이면서 크기가 1인 단위벡터이다
  • 행렬이 orthogonal하다: AAT=E 이다 (행렬을 구성하는 열벡터, 또는 행벡터들이 orthonomal하다)



[선형대수학 #1] 주요용어 및 기본공식

[선형대수학 #2] 역행렬과 행렬식(determinant)

[선형대수학 #3] 고유값과 고유벡터 (eigenvalue & eigenvector)

[선형대수학 #4] 특이값 분해(Singular Value Decomposition, SVD)의 활용

[선형대수학 #5] 선형연립방정식 풀이

[선형대수학 #6] 주성분분석(PCA)의 이해와 활용


by 다크 프로그래머


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  • BlogIcon 2016.04.19 10:23 신고 ADDR 수정/삭제 답글

    우와 정말 도움받고가요!!!감사합니다

  • 다크 짱 2016.06.02 01:08 신고 ADDR 수정/삭제 답글

    다크님 안녕하세요!! 항상 좋은 글 잘 보고 있습니다.
    질문이 있는데요.
    " 대칭행렬은 항상 고유값 대각화가 가능하며 더구나 직교행렬(orthogonal matrix)로 대각화가 가능하다. "
    이 내용은 A = PΛP-1 로 대각화 했을 때,
    고유값인 Λ는 대각행렬일테고, 고유벡터인 P가 직교행렬이 된다는 뜻인가요?
    제가 이해한 것이 맞는지 궁금합니다.
    감사합니다~

    • BlogIcon 다크pgmr 2016.06.02 10:38 신고 수정/삭제

      전반적으로는 맞습니다. 하지만 좀더 정확히 말하면 대각화를 했을 때, 항상 P가 직교행렬이 되는것이 아니라, 직교행렬이 되도록 P를 구할 수 있다가 정확한 표현입니다. 특정 고유값에 대응되는 고유벡터는 유일하지 않기 때문에 A를 A = PDP-1 로 대각화할 수 있는 P는 무한히 많습니다(v가 고유벡터이면 임의의 0이 아닌 상수 k에 대해 kv도 고유벡터임). 이러한 P들 중에서 P가 직교행렬이 되는 경우가 반드시 존재한다는 의미입니다 (v를 단위벡터가 되도록 만들면 P가 직교행렬이 됩니다).

  • CPL_H 2016.09.15 21:19 신고 ADDR 수정/삭제 답글

    잘 읽고 갑니다. 선형대수학 복습을 하던 차에 이렇게 깔끔하게 정리된 자료를 접하게 되서 얼마나 기쁜지 모르겠네요. 남은 연휴 잘 쉬시길 바랍니다.

  • hy16 2016.09.27 21:03 신고 ADDR 수정/삭제 답글

    정말 잘읽었어요!!
    한 가지 궁금한 점이있는데 A가 대각화 가능하지 않아도 trA detA가 각각 고유치들의합,곱이라 할수있나요??

    • BlogIcon 다크pgmr 2016.09.28 06:50 신고 수정/삭제

      고유값을 복소수(허수)까지 허용한다면 성립한다고 볼 수 있고, 실수 범위로만 한정한다면 성립하지 않습니다.

  • 안녕하세요 2016.09.28 04:18 신고 ADDR 수정/삭제 답글

    위의 식에서, 궁금한 점이 있습니다. "이제 식 (4)를 한꺼번에 표현하여 정리하면" 이라고 하셨는데요. 이게 어떤 의미인가요? 그 다음에 A[v1 v2 ... vn]에서 대괄호의 의미가 무엇인지 잘 이해가 가지 않습니다. 여기서 어떤 변환을 거쳤는지 가르쳐 주시면 감사드리겠습니다!

    • BlogIcon 다크pgmr 2016.09.28 06:56 신고 수정/삭제

      vi들은 열벡터들이고 [v1 v2 ... vn]은 열벡터들을 모아서 만든 행렬입니다. 예를 들어, v1 = (1,3)^T, v2 = (0, 1)^T라면 [1 0; 3 1]과 같이 각각의 벡터들을 열로 하는 행렬을 만들었다는 의미입니다.

  • 굿 2016.10.12 04:19 신고 ADDR 수정/삭제 답글

    정리해주신 것들, 책으로 내도 되겠네요. 큰 도움받았습니다. 직관적으로 이해가 갑니다. 감사합니다!

  • BlogIcon 양준모 2016.10.19 21:48 신고 ADDR 수정/삭제 답글

    시험공부 잘하고갑니다. 감사합니다

  • chongkong 2016.10.23 10:18 신고 ADDR 수정/삭제 답글

    안녕하세요! 댓글에서 대칭행렬의 고유벡터들 중 서로 직교하는 n개의 고유벡터쌍이 존재한다고 말씀해주셨는데요, 대칭행렬의 경우엔 고유값이 다른 고유벡터는 항상 직교하는 것 같습니다
    http://math.stackexchange.com/questions/82467/eigenvectors-of-real-symmetric-matrices-are-orthogonal

    • BlogIcon 다크pgmr 2016.10.24 09:57 신고 수정/삭제

      네, 그렇네요. 덕분에 좀더 자세히 알게 되었습니다 :)

  • 스테판랄 2016.12.02 20:54 신고 ADDR 수정/삭제 답글

    질문 올립니다.
    수백*수백 짜리의 이미지가 있습니다. 이 이미지를 45도 각도로 돌린다면
    그것은 그 이미지에 대한 고유벡터가 45도로 돌리게 하는 매트릭스? 에 의하여 돌아갔다고
    말하는 것이 맞을까요?

    • BlogIcon 다크pgmr 2016.12.05 10:57 신고 수정/삭제

      일단은 이미지에 대한 고유벡터가 무엇인지 먼저 정의되어야 할 것 같습니다.

  • 스테판랄 2016.12.04 22:33 신고 ADDR 수정/삭제 답글

    matlab 을하다 궁금한게 생겨서 질문 올립니다^^
    3x3 짜리 소벨 마스크(행렬) 의 고유분해를 하였는데요 (밑에 예시 처럼 했습니다)
    -1 -2 -1
    0 0 0
    1 2 1 Sobel 마스크

    -1 -1 1
    0 0 0
    1 1 -1 고유벡터 결과
    이 벡터를 imshow 한 마스크 이미지에서 나타내고 싶은데 저것을 어떤식으로 나타내는지가
    모르겠습니다. 2x2 짜리 행렬을 분해한 것은 벡터로 나타내면 결과값이 2개가 나오므로
    원래 알고있는 벡터 처럼 표시하면 돼는데 그 이상차원의 행렬에서는 고유벡터가 나오면
    그 벡터의 표시를 어떤식으로 해야할지 모르겠습니다. 2D 평면상에서는 축이 2가지인데
    예를 들어 고유벡터가 (-2, 0 ,2, 5) 이런식으로 나오면(4x4짜리행렬에서) 2D 상의이미지에서는
    도대체 어떻게 표현을 해야할지 모르겠네요. 무엇이 문제일까요?

  • 김진국 2017.01.16 21:48 신고 ADDR 수정/삭제 답글

    헷갈리던 내용을 이 글 한번에 모두 이해하고 갑니다. 정말 감사드립니다!!

  • ctw 2017.01.26 02:07 신고 ADDR 수정/삭제 답글

    먼저, 이렇게나 쉽게 설명해주셔서 감사합니다 ^^

    쉽고 직관적인 설명해신 부분이, 고유값, 고유벡터를 더 직관적으로 이해하게 싶게 만드네요 ㅎㅎ


    고유값, 고유벡터에 대해 수학적인 정의도 알고 계시고, 기하학적 해석도 하실 수 있으며,
    어디에 사용하시는지도 아시는 분께서… 글 서두에 이런 내용을 남기셔서…
    도대체 무엇이 궁금하신 것일까 계속 고민해 봤습니다.

    “선형대수학에서 고유값(eigenvalue)과 고유벡터(eigenvector)가 중요하다고 하는데 왜 그런 것인지 개인적으로도 참 궁금합니다.”


    많이 배워가면서 뭐하나 남겨 드리고 가야하는데 …
    오늘에서야 고유값, 고유벡터가 무엇인지를 알게되어서…
    궁금증을 해소 시켜드릴 수 있을지는 모르겠네요.


    외국 사이트를 많이 돌아다녀봤는데, 아래 사이트가 가장 인상 깊었습니다.
    http://math.stackexchange.com/questions/243533/how-to-intuitively-understand-eigenvalue-and-eigenvector


    그리고 가장 직관적으로 마음에 와닿는 문구는 아래 문구입니다.

    1. Consider the eigenvector corresponding to the maximum (absolute) eigenvalue. If we take a vector along this eigenvector, then the action of the matrix is maximum.
    No other vector when acted by this matrix will get stretched as much as this eigenvector.

    2. Euler studied the rotational motion of a rigid body and discovered the importance of the principal axes. Lagrange realized that the principal axes are the eigenvectors of the inertia matrix. [1]


    고유값과 고유벡터라는 문자를 사용해 선형성을 전개하고 방정식을 푸는 방법은 이미 이 블로그에 너무 많이 나와있는 관계로… 선형대수학에서의 의미는 충분히 있다고 보여집니다.

    개인적으로 생각해본 직관적인 내용을 아래에 정리해봤습니다.

    1. 한 행렬을 선형 변환함에 있어서, 해당 행렬의 고유벡터가 기저(base)를 이루는 주축(Principal axe)가 된다는 것(선형 사상을 표현하는데 매우 유용)
    2. 회전이 허용되는 강체 변환 행렬(선형 변환의 일종)에 있어서, 최대 고유값에 대응하는 고유벡터가 이 강체 변환 행렬이 움직일 수 있는 최대 범위를 제한한다는 것.
    3. 고유값 분해가 가능하면 선형적으로 독립적인(linearly independent) 고유벡터들이 존재하고, 그 고유벡터들의 미적분을 이용할 수 있다는 것
    (다변수 분석 또는 대수학으로의 확장, 오일러/라그랑지 방정식? )


    마지막으로… 좋은 글 다시 한번 감사 드립니다.

    • BlogIcon 다크pgmr 2017.01.26 10:03 신고 수정/삭제

      좋은 댓글 감사합니다. 오전 내내 적어주신 내용과 링크해 주신 내용에 빠져 있었습니다. 아직 모르는 부분도 많지만 색을 덧칠해 가면서 그림이 완성되어 가듯이 조금씩 이해가 깊어지는 것 같습니다. 그리고 저는 개인적으로 링크해 주신 stackexchange 글의 EuYu라는 분의 코멘트가 인상깊었습니다. 깊은 이해와 그 표현력에 절로 감탄을 하게 됩니다. 감사합니다.

  • ctw 2017.01.26 12:29 신고 ADDR 수정/삭제 답글

    아직 PCA를 스터디해보지는 않았는데, Unsupervised 머신 러닝을 좀 더 깊게이해하기 위해서 나중에 꼭 깊게 공부해볼 생각입니다.
    나중에 PCA 공부할 때 EuYu님의 해당 코멘트도 잘 느껴보겠습니다.

    좋은 댓글이라구 말씀해주셔서 감사하구요...
    앞으로도 종종 공부하러 들리겠습니다.

  • ㅇㅇ 2017.03.22 21:37 신고 ADDR 수정/삭제 답글

    A가 가역이여야 분해 가능하다고요? 아직 공부를 많이 못 하신 모양이네요.

  • 굳굳! 2017.05.15 09:33 신고 ADDR 수정/삭제 답글

    좋은 글이네요 하지만 제 개인적인 생각으로는
    대각화를 바라볼 때에는 적어도 matrix와 linear map의 isomorphism의 관점에서 보는게 가장 명확하다고 생각합니다!

    아래 정리는 행렬과 선형변환의 관계를 이용하면 간단히 유도할수 있습니다.
    theorem
    1.A~C이다.
    2.[La](B->B)=C인 basis B가 존재한다.
    이 정리는 동치인데
    La:F^n->F^n이라하고 F^n의 basis B를
    basis B={x1,x2,x3,x4.....,xn}이라고 가정하겠습니다.

    이 정리의 행렬 C를 diagonal matrix로 보면
    A~C인 것과 .[La](B->B)=C와 동치고
    .[La](B->B)=C과 La(x1)=e1x1..La(xi)=eixi와 동치이므로 결국 A가 대각화 가능하기위한 조건은 너무나 자명하게 eigen vector 로 이루어진 F^n의 basis가 존재하는 것임을 보일수 있습니다.

    • BlogIcon 다크pgmr 2017.05.15 16:38 신고 수정/삭제

      비전공자도 이해할 수 있도록 좀더 쉬운 용어와 직관적인 설명이 있으면 좋을 것 같습니다. 감사합니다.

  • sketch 2017.06.05 07:47 신고 ADDR 수정/삭제 답글

    와...이렇게나 쉽게 설명해주시는 글은 처음이에요! 정말 감사합니다!!!

  • 크라메르 2017.07.31 21:18 신고 ADDR 수정/삭제 답글

    안녕하세요

    읽다가...

    " 그런데, 식 (14)를 잘 보면 (A-λE)의 역행렬이 존재한다면 v는 항상 v = (A-λE)-10 = 0 만을 해로 갖게 된다. "

    이문장이 이해가 안되네요 ㅠㅠ

    30분째 보고있음;; 조금만더 설명해주실수 있나요?

    • BlogIcon 다크pgmr 2017.08.03 15:07 신고 수정/삭제

      예를 들어 행렬 A와 벡터 x에 대해 Ax = 0이라는 식이 있다면, A의 역행렬이 존재할 경우 양변에 A의 역행렬(A^-1)을 곱하면 A^-1 * Ax = A^-1 * 0이 됩니다. 그러면 x = 0이 된다는 의미입니다.
      한편으로 A의 역행렬이 존재하지 않을 경우가 궁금할 수 있는데요, 그러한 경우에는 x = 0 외에도 다른 해가 무수히 존재할 수 있습니다. 예를 들어, A = 0인 경우에는 임의의 x가 해가 될 수 있습니다.

    • 크라메르 2017.08.04 10:41 신고 수정/삭제

      아하 양변에 (역행렬이 존재할경우)역행렬을 곱하면 x는 0밖에 될수가 없겠네요. 그래서 A는 역행렬이 존재해서는 안되는거.... ㄳㄳ

  • sean 2017.08.12 10:42 신고 ADDR 수정/삭제 답글

    안녕하세요? :)
    좋은 글 재미있게 잘 읽고 있습니다!
    두 가지 질문이 있는데요.
    01
    식 11번에서 전개가 이해가 되지 않아서요.
    전체에 역행렬을 취했는데 왜 P에는 적용이 안 되는 것인지 궁금합니다.

    02
    식 18에서 이중근이라는 것을 어떻게 알 수 있나요?

    감사합니다!

    • BlogIcon 다크pgmr 2017.08.12 11:17 신고 수정/삭제

      ABC의 역행렬은 A-1B-1C-1가 아니라 C-1B-1A-1임에 유의해야 합니다. 역행렬의 정의는 자신과 곱해서 항등행렬(I)이 나오는 행렬입니다. ABC * C-1B-1A-1 = I가 됨은 쉽게 확인할 수 있습니다. 즉, ABC의 역행렬은 C-1B-1A-1입니다. 수학은 정의에서 시작합니다. 그 정의를 정확히 알고 있다면 많은 식들을 이해할 수 있습니다.

    • BlogIcon 다크pgmr 2017.08.12 11:26 신고 수정/삭제

      식 18과 같이 방정식을 인수분해했을 때, 제곱이 되는 인수에 대응되는 해를 이중근이라고 부릅니다.

  • 돌맹이 2017.08.22 17:47 신고 ADDR 수정/삭제 답글

    좋은 글 잘 보고 갑니다 많은 도움이 되었습니다.

  • 낙하 2017.10.08 19:33 신고 ADDR 수정/삭제 답글

    unit vector로 검색했더니 이 블로그에 또 들어왔네요!
    좋은 포스팅 감사합니다 !!