Fourier Transform(푸리에 변환)의 이해와 활용

영상처리 2017.09.27 12:39

푸리에 변환(Fourier transform)에 대해서는 예전부터 한번 정리를 해야겠다고 생각만 했었는데 이번에 기회가 되어 글을 올립니다.


푸리에 변환(Fourier transform)은 신호처리, 음성, 통신 분야에서 뿐만 아니라 영상처리에서도 매우 중요한 개념으로 다양한 응용을 가지고 있습니다. 영상을 주파수 성분으로 변환하여 다양한 분석 및 처리를 할 수 있고 임의의 필터링 연산을 fft(fast Fourier transform)를 이용하여 고속으로 구현할 수도 있습니다. 그리고 푸리에 변환과 같은 근원적인 이론들은 특정 응용에 국한되지 않기 때문에 한번 알아두면 분야를 떠나서 두고두고 도움이 됩니다.


이 글에서는 푸리에 변환(Fourier transform)이 무엇이고 어디에 쓸 수 있는지, 그리고 어떻게 쓸 수 있는지 직관적 이해와 유용한 성질들, 영상처리 응용, 그리고 푸리에 변환(Fourier transform)을 실제 활용하는데 있어서 필요한 사항들을 최대한 직관적으로 정리하고자 합니다.


그동안 푸리에 변환(Fourier transform)에 대해 개인적으로 가지고 있었던 의문은 푸리에 변환을 통해 얻어지는 스펙트럼과 페이즈(phase) 중 페이즈(phase)가 무엇인가? 그리고 푸리에 주파수 공간의 좌표값을 어떻게 해석할까입니다. 아마도 비슷한 의문을 가진 분들도 꽤 있을 것으로 생각됩니다. 이 글을 통해서 그러한 의문에 대한 답도 같이 다루게 됩니다.



1. 푸리에 변환(Fourier transform) - 직관적 이해


모든 공부의 시작은 핵심 개념을 정확히 이해하는데 있다. 그리고 그 이해는 가급적 직관적일수록 좋다.


푸리에 변환(Fourier transform)을 직관적으로 설명하면 푸리에 변환은 임의의 입력 신호를 다양한 주파수를 갖는 주기함수들의 합으로 분해하여 표현하는 것이다.


좀더 들어가면, 푸리에 변환에서 사용하는 주기함수는 sin, cos 삼각함수이며 푸리에 변환은 고주파부터 저주파까지 다양한 주파수 대역의 sin, cos 함수들로 원본 신호를 분해하는 것이다.


아래 그림(그림 1)의 예를 보자. 맨 앞의 붉은 색 신호는 입력 신호이고 뒤의 파란색 신호들은 푸리에 변환(Fourier transform)을 통해 얻어진 (원본 신호를 구성하는) 주기함수 성분들이다. 각각의 주기함수 성분들은 고유의 주파수(frequency)와 강도(amplitude)를 가지고 있으며 이들을 모두 합치면 원본 붉은색 신호가 된다.


그림 1. 푸리에 변환 (그림출처: 위키피디아)


여기서 입력 신호는 전파, 음성 신호 등과 같이 시간축(time)에 대해 정의된 신호일 수도 있고 이미지(image) 등과 같이 공간축에 대해 정의된 신호일 수도 있다. 통신 분야에서는 푸리에 변환(Fourier transform)을 time domain에서 frequency domain으로의 변환이라고 하고, 컴퓨터 비전(computer vision), 영상처리 쪽에서는 spatial domain에서 frequency domain으로의 변환이라고 부른다. 명칭이야 어쨌든 그 핵심은 입력 신호를 sin, cos의 주기성분으로 분해하는 것이다.


푸리에 변환(Fourier transform)의 대단한 점은 입력 신호가 어떤 신호이든지 관계없이 임의의 입력 신호를 sin, cos 주기함수들의 합으로 항상 분해할 수 있다는 것이다. 그리고 그 과정을 수식으로 표현한 것이 푸리에 변환식이다.



2. 푸리에 변환(Fourier transform) - 수식적 이해


어떤 개념을 직관적으로 이해했다면 그 개념에 대한 수식적 이해는 그 개념을 한층 풍성하고 깊이있게 이해하게 해 준다.


푸리에 변환(Fourier transform)은 프랑스의 수학자 Joseph Fourier (1768 ~ 1830)가 제안한 방법으로서 수학사(해석학)의 역사가 새로 씌여질 정도로 대단한 발견이었다고 한다. 그 유명한 푸리에 변환의 수식은 다음과 같다.


, --- (1)


. --- (2)


여기서 j는 허수단위 , f(x)는 원본 입력 신호, ej2πux는 주파수 u인 주기함수 성분, F(u)는 해당 주기함수 성분의 계수(coefficient)를 나타낸다.


일단 식을 있는 그대로 해석하면 식 (1)은 입력신호 f(x)가 ej2πux들의 합으로 표현(분해)된다는 의미이다 (적분은 합한다는 의미를 갖는다). 그리고 식 (2)는 f(x)를 주기함수 성분으로 분해했을 때의 계수(coefficient) F(u)가 식 (2)로 주어진다는 의미이다. 앞서 그림 1과 연관해 보면 ej2πux는 f(x)를 구성하는 (파란색의 주파수 u인) 주기함수 성분들이고 F(u)는 해당 주기함수 성분의 강도(amplitude)를 나타낸다.


☞ 푸리에 변환에 대한 일반적인 설명 방식은 두번째 식 (2)를 푸리에 변환이라고 정의하고 첫번째 식 (1)을 푸리에 역변환(inverse Fourier transform)이라고 정의하는 것이다. 그리고 푸리에 역변환을 하면 다시 원래의 함수로 돌아온다고 한다. 하지만 이러한 기계적인 이해(푸리에 변환을 어디 하늘에서 뚝 떨어진 정의로만 받아들이는 것)는 푸리에 변환의 본질을 이해하는데 별 도움이 되지 않는다.


이제 식으로 좀더 들어가 보자. 일단, 식 자체는 푸리에 변환의 대단함에 비추어 매우 단순하다 (Simple is the best!!). 다만 한 가지 ej2πux의 의미만 이해하면 된다. 그리고 이를 위해서는 오일러 공식(Euler's formula)이 필요하다.


오일러 공식(Euler's formula)은 복소지수함수를 삼각함수로 변환할 수 있도록 하는 유명한 식이다.


 --- (3)


식 (3)은 증명 가능한 식이며 그 증명은 인터넷에서 어렵지 않게 찾을 수 있다. 어쨌든 오일러 공식을 이용하면 식 (1)의 ej2πux는 실수부가 cos(2πux), 허수부가 sin(2πux)인 주기함수임을 알 수 있다.


 --- (4)


여기서 cos(2πux), sin(2πux) 모두 주기(period)가 1/u, 주파수(frequency) u인 주기함수이므로 결국 ej2πux는 주파수 u인 정현파(sinusoidal wave)의 복소지수함수 표현임을 알 수 있다.

    • 주기: 파동이 한번 진동하는데 걸리는 시간, 또는 그 길이. sin(wx)의 주기는 2π/w 임.
    • 주파수: 1초 동안의 진동 횟수. 주파수와 주기는 서로 역수 관계 (주파수 = 1/주기)


☞ 정현파(sinusoidal wave)는 파형이 sin 또는 cos 함수인 파동(wave)을 말한다. 그런데, 여기서 왜 갑자기 복소수가 나오고 또 주기함수를 저렇게 표현하느냐고 따질 수 있다. 하지만 여기서는 그냥 복수지수함수는 정현파(sinusoidal wave)를 표현하는 방법 중 하나라는 정도로만 알아두자. 정현파 및 복수지수함수 표현에 대한 보다 자세한 내용은 AngeloYeo님의 페이저(phasor)에 대한 설명글을 참고하기 바란다.


이제 다시 원래의 식 (1), (2)로 돌아가 보자. 식 (1)은 함수 f(x)를 모든 가능한 주파수(u)의 주기함수들(ej2πux)의 일차결합으로 표현한 것이다. 그리고 그 일차결합 계수 F(u)는 식 (2)로 항상 주어질 수 있다는 것이 요지이다. 이와 같이 푸리에 변환식을 볼 수 있다면 푸리에 변환의 핵심을 이해한 것이다.


☞ 식 (1), (2)의 푸리에 변환(Fourier transform)식은 언뜻 보면 정의(definition)로 보이지만 사실은 증명해야 할 정리(theorem)이다. 즉, 식 (2)의 F(u)를 식 (1)에 대입하면 항상 f(x)가 나옴을 증명해야 한다. 이것이 증명되면 모든 임의의 신호함수는 항상 주기함수들의 일차결합으로 분해될 수 있음이 증명되는 것이다 (증명은 이곳 참조).


마지막으로, (증명은 아니지만) 왜 일차결합의 계수 F(u)가 식 (2)로 주어지는지를 선형대수학과 연관지어 직관적으로 이해해 보자. 식 (1)에서 ej2πux, u = 0, ±1, ±2, ...은 모든 신호를 생성할 수 있는 직교(orthogonal) 기저(basis) 함수들로 볼 수 있다 (편의상 u를 정수 범위로 표기했으나 u는 실수 전체 범위임). 그러면 입력 신호 f(x)를 이들 기저함수들로 분해했을 때의 계수 F(u)는 f(x)와 기저함수의 내적(dot product)으로 계산될 수 있다 (아래의 ☞선형대수학 관련 설명 참조). 식 (2)는 f(x)와 ej2πux의 함수 내적이기 때문에 그 결과는 f(x)를 ej2πux들로 분해했을 때의 계수가 된다. 따라서, F(u)가 식 (2)로 주어지는 이유가 설명이 되었다. 참고로, 식 (2)에서 j 앞에 -가 붙은 이유는 복소수에서의 내적은 어느 한쪽에 켤레(conjugate) 복소수를 취한 후 계산되기 때문이다.


☞ 선형대수학(linear algebra)에서는 어떤 벡터 공간을 생성할 수 있는 일차독립인 벡터들의 집합을 기저(basis)라고 한다. 만일 기저(basis) 벡터들이 v1, v2, ..., vn라 하면 이 벡터공간에 속하는 임의의 벡터 v는 v = a1v1 + a2v2 + ... + anvn (ai는 상수)와 같이 기저 벡터들의 일차결합으로 표현될 수 있다 (왜냐하면 vi들이 이 벡터공간의 모든 벡터들을 생성할 수 있으니까). 그런데 만일 기저벡터들이 서로 수직(vi·vj = 0)인 단위벡터라면 일차결합 계수 ai는 내적을 이용하여 ai = v·vi로 손쉽게 계산할 수 있다 (∵ v·vi = (a1v1 + ... + anvn)·vi = ai*(vi·vi) = ai). 어떤 벡터와 기저(basis) 벡터를 내적하면 이 벡터에 포함된 기저 성분의 계수가 얻어진다는 것은 선형대수학에서 매우 유용한 성질이다.


☞ F(u)가 식 (2)로 주어지는 이유에 대한 선형대수학적 설명은 개인적 이해 방식이라서 증명이 있거나 근거 문헌이 있는 내용은 아닙니다. 그냥 그런 식으로 이해할 수도 있구나 하고 참고만 하기 바랍니다. 정말 그런지 수학적으로 증명해 봐라 하면 골치아픕니다..



3. 이미지(영상신호)에서의 푸리에 변환(Fourier transform)


푸리에 변환(Fourier transform)을 영상처리에 적용하기 위해서는 이미지(영상신호)가 가지고 있는 몇 가지 차이점을 인지해야 한다. 먼저, 이미지는 2차원의(x축 방향의 변화와 y축 방향의 변화가 동시에 포함된) 신호이기 때문에 2차원에서 정의되는 푸리에 변환이 필요하다. 2차원 신호에 대한 푸리에 변환(Fourier transform)은 다음과 같이 정의된다.


, --- (5)


. --- (6)


단, 여기서 F(u, v)는 x축 방향으로 주파수(frequency) u, y축 방향으로 v인 주기함수 성분의 계수이다. 그리고 그 값은 식 (6)에 의해 계산된다.


그런데 이미지는 연속(continuous)이 아닌 이산(discrete) 신호이다. 그리고 한정된 유한(finite) 구간에서 정의되는 신호이다. 따라서, 이산 데이터에서 정의되는 푸리에 변환이 필요하다. W x H 크기의 이미지 f(x, y)에 대한 이산 푸리에 변환(discrete Fourier transform)은 다음과 같이 정의된다.


, ---(7)


. ---(8)


단, x = 0, 1, ..., W-1, y = 0, 1, ..., H-1이고 u = 0, 1, ..., W-1, v = 0, 1, ..., H-1.


식 (7)에서 ej2π(ux/W+vy/H)x축 방향으로 주파수가 u/W, y축 방향으로 주파수가 v/H인 sinusoidal 주기함수이다 (by 오일러 공식). 일반적인 푸리에 변환식과는 달리 W와 H로의 나누기가 들어있음에 유의해야 하며 이는 데이터가 정의된 구간을 하나의 단위 주기(unit period)로 만드는 효과가 있다. 일종의 정규화 팩터(normalization factor)라고 생각하면 된다.


여기서 2D 이미지를 어떻게 신호로 해석할 수 있는지, 그리고 2D 정현파(sinusoidal wave) ej2π(ux/W+vy/H)가 도대체 어떤 모습일지 아마도 의아해할 수 있다. 첫째, 이미지를 신호로 해석하는 문제는 x 또는 y축을 시간축으로 놓고 좌표의 변화에 따라 변하는 이미지 픽셀의 밝기 변화를 신호로 생각하면 쉽게 이해할 수 있다. 다음으로, 2D에서 정의되는 정현파(sinusoidal wave)의 모습은 아래 그림과 같이 모든 방향으로의 단면이 sinusoidal이 되는 물결 형태의 파동을 생각하면 된다.

그림 2. 2D에서의 sinusoidal wave


앞서 그림 1의 1D 푸리에 변환의 경우와 유사하게 생각해 보면, 이미지에 대한 푸리에 변환(Fourier transform)은 그림 2와 같은 형태의 다양한 2D 정현파들의 합으로 이미지를 분해하여 표현하는 것으로 이해할 수 있다.


이미지에 대한 푸리에 변환(Fourier transform)에서 한 가지 주의해야 할 것은 푸리에 변환의 계수 F(u, v)가 ej2π(ux+vy)의 계수가 아니라 ej2π(ux/W+vy/H)의 계수라는 점이다. 즉, 이산 푸리에 변환에서 F(u, v)는 주파수 u, v 성분이 아니라 주파수 u/W, v/H 성분에 대한 계수를 나타낸다.


W × H 이미지에 대한 이산 푸리에 변환에서 F(u, v)는

- x축 주파수 u/W, y축 주파수 v/H인 주기함수 성분에 대응

- 주기로는 x축 방향 W/u 픽셀, y축 방향 H/v 픽셀인 주기성분을 나타냄 (주기 = 1/주파수)


☞ 바로 이 부분이 개인적으로 푸리에 변환에 대해서 혼동스러웠던 부분 중 하나이다. W x H 이미지의 푸리에 변환에서 F(u, v)는 주파수 u, v의 성분이 아니라 주파수 u/W, v/H 성분이다. 따라서, 주파수 공간에서 특정 F(u, v) 값이 높게 나타났다면 원래의 이미지 공간에서는 x축 방향으로 주기가 W/u 픽셀, y축 방향 주기가 H/v 픽셀인 주기성 성분이 존재한다는 의미가 된다.


참고로, 1차원에서의 함수 f(x), x = 0, 1, 2, ..., W-1에 대한 이산 푸리에 변환(discrete Fourier transform)은 다음과 같이 정의된다.


 --- (9)


 --- (10)


☞ 1차원 이산 푸리에 변환(discrete Fourier transform)식은 실제 푸리에 변환을 컴퓨터로 구현하는데 있어서 가장 기본이 되는 식이다. 왜냐하면 파동과 같은 연속 신호라 할지라도 실제 분석에 있어서는 샘플링된 이산 데이터를 이용해야 하고 2차원 푸리에 변환에 대한 구현도 내부적으로는 1차원 푸리에 변환을 이용하여 구현되기 때문이다.



4. 푸리에 스펙트럼(spectrum)과 페이즈(phase)


이제 실제로 푸리에 변환(Fourier transform)을 통해 얻어지는 F(u, v) 값들이 어떤 의미를 가지며 어떤 형태(visualization)를 갖는지 살펴보자.


푸리에 변환을 통해 얻어지는 F(u, v)는 복소수(complex number)이며 실수부(Real)와 허수부(Imaginary)로 구성된다 (1차원 푸리에 변환의 경우도 마찬가지이다).


 --- (11)


이 때, 복소수 F(u, v)의 크기 |F(u, v)|를 푸리에 변환의 spectrum(스펙트럼) 또는 magnitude라고 부르고, F(u, v)의 각도 Φ를 phase(페이즈) angle 또는 phase spectrum이라고 부른다.


 --- (12)


 --- (13)


A. 푸리에 스펙트럼(Fourier spectrum)


먼저, 푸리에 스펙트럼(Fourier spectrum)에 대해 살펴보자. 푸리에 스펙트럼은 해당 주파수 성분이 원 신호(이미지)에 얼마나 강하게 포함되어 있는지를 나타낸다. W x H 이미지를 푸리에 변환(Fourier transform)하면 식 (7), (8)에 의해 W x H의 F(u, v), u = 0, ..., W-1, v = 0, ..., H-1 가 얻어진다. 따라서, |F(u, v)|를 픽셀값으로 잡으면 아래 예와 같이 푸리에 스펙트럼을 원본 이미지와 동일한 크기의 이미지로 시각화할 수 있다.


그림 3. 푸리에 스펙트럼(spectrum)과 좌표계

(a) 입력 이미지, (b) 푸리에 스펙트럼, (c) shifted 스펙트럼


푸리에 스펙트럼(Fourier spectrum)을 이미지로 시각화하는 데에는 2가지 문제점이 있다. 먼저, 푸리에 스펙트럼은 저주파 영역은 매우 큰 값을 갖는 반면에 대부분의 다른 영역은 0에 가까운 값을 갖는다. 따라서 푸리에 스펙트럼을 그대로 이미지로 시각화하면 검은 바탕 위에 흰점 하나만 존재하는 형태가 된다. 이러한 문제를 해결하기 위해서 스펙트럼을 이미지로 표현할 때에는 그림 3(b)처럼 스펙트럼에 log를 취하는 것이 일반적이다. 다음으로, 원래의 스펙트럼 이미지는 그림 3(b)처럼 모서리로 갈수록 값이 높아지기 때문에 스펙트럼의 형태를 파악하기 힘들다. 따라서 이러한 문제를 해결하기 위해 그림 3(c)처럼 원점이 중심(center)에 오도록 스펙트럼의 위치를 이동시킨(shift) 형태의 이미지를 사용하는 것이 일반적이다 (아래 ☞설명 참조). 앞으로 푸리에 스펙트럼 이미지라 하면 그림 3(c)와 같은 shifted 스펙트럼 이미지를 생각하면 된다.


☞ 그림 3(c)와 같은 shift가 가능한 이유는 푸리에 스펙트럼이 원점대칭인 주기함수이기 때문이다. 사실 식 (9), (10)로 주어지는 이산 푸리에 변환(discrete Fourier transform)식은 f(x)가 주기함수일 때에만 성립하는 식이다. 원래의 입력신호 f(x)는 x = 0, 1, ..., W-1의 유한 구간에서 정의된 함수이다. 우리가 관심있는 부분은 0 ~ W-1 구간에서의 특성이므로 그 외의 구간에 대해서는 함수를 어떻게 정의해도 무방하다. 따라서, 푸리에 변환 적용을 위해 이 함수를 확장하여 f(x + W) = f(x)인 주기함수(0 ~ W-1에서의 함수값이 다른 구간에서도 계속 반복)로 가정하고 식을 세운 것이 식 (9), (10)이다. 이 때, F(u) 또한 f(x)와 동일한 주기(W)의 주기함수가 된다. 즉. F(u) = F(u + W). 또한 식 (10)에서 |F(u)| = |F(-u)|임도 쉽게 알 수 있다. 즉, 이산 푸리에 스펙트럼은 원점대칭이면서 W를 주기로 하는 주기함수 형태임을 알 수 있다. 2차원의 경우도 마찬가지이며 F(u, v) = F(u + W, v) = F(u, v+ H) = F(u + W, v + h), |F(u, v)| = |F(-u, -v)|인 주기함수가 된다. 그리고 이러한 원점 대칭성과 주기성으로 인해 스펙트럼 이미지를 그림 3(c)와 같이 shift하여 표현하는 것이 가능해진다.


shifted 스펙트럼을 이해하기 위해 한 예로 아래 그림 4의 왼쪽과 같은 형태의 스펙트럼 신호를 생각해 보자. 그런데 만일 스펙트럼이 원점대칭이고 W를 주기로 반복된다면 푸리에 스펙트럼은 오른쪽과 같은 형태가 될 수밖에 없음을 알 수 있다. 원래의 푸리에 스펙트럼의 형태는 구간 0 ~ W의 형태(그림 3b)이지만 (어차피 정보가 반복되기 때문에) 이를 구간 -W/2 ~ W/2 형태(그림 3c)로 shift하여 표현한 것이 shifted 스펙트럼이다.



그림 4. 푸리에 스펙트럼의 주기 특징


B. 푸리에 스펙트럼의 해석


앞서 푸리에 스펙트럼(Fourier spectrum)은 해당되는 주파수 성분의 강도를 나타난다고 했는데, 정말 그런지 그리고 이 값이 이미지 도메인에서 어떻게 해석될 수 있는지 실제 예를 통해서 살펴보자.


아래 예는 이미지에 인위적으로 주기성분을 추가하였을 때 주파수 공간에서의 푸리에 스펙트럼이 어떻게 변하는지를 보여준다. 원본 이미지의 해상도는 205 × 205 픽셀이며(W = 205, H = 205) 따라서 스펙트럼 이미지도 205 x 205 해상도를 갖는다.


그림 5. 주기성분 추가에 따른 푸리에 스펙트럼의 변화


먼저, 그림 5(a)는 원본 이미지 및 대응되는 푸리에 스펙트럼 이미지를 보여준다. 그림의 예와 같이 일반적인 푸리에 스펙트럼 이미지는 원점 F(0, 0) 주변의 저주파 영역에서 강한 피크(peak)가 나타나고 원점에서 멀어질수록 즉, 고주파 영역으로 갈수록 값이 급격히 작아지는 형태를 갖는다.


그림 5(b)는 (a)의 이미지에 5 픽셀(pixel) 간격의 수평선을 인위적으로 추가한 경우이다. 그러면 주파수 공간에서는 그림과 같이 F(0, 41), F(0,82)에 강한 피크(peak)가 나타난다. 앞서 이산 푸리에 변환에서 F(u, v)는 x축 주기 W/u 픽셀, y축 주기 H/v 픽셀인 주기성분의 계수라 했다. 그러면, F(0, 41)은 주기가 x축 방향 205/0 = ∞, y축 방향 205/41 = 5 픽셀인 주기성분에 대응된다. 그리고 이것은 그림 5(b)를 만들 때 사용한 수평선의 주기(세로방향 5픽셀)와 정확히 일치한다.


☞ F(0, 82)에도 피크(peak)가 나타나는 것은 y축 방향으로 205/82 = 2.5 픽셀 간격의 주기 성분이 입력 이미지에 있다는 의미이다. 이는 이미지에 추가한 수평선이 정현파(sinusoidal wave)가 아니라 계단 형태이기 때문에 5 픽셀 주기의 정현파와 2.5 픽셀 주기의 정현파를 합쳐서 그러한 계단 형태를 근사했기 때문이다.


다음으로, 이번에는 그림 5(c)와 같이 대각선 방향의 정현파를 (a)의 이미지에 추가해 보자. 추가한 정현파는 x축 방향 주기 20 pixel, y축 방향 주기 10 픽셀인 2D sin 함수를 이용했다. 이 때, 푸리에 스펙트럼에는 F(10, 20.5)에 강한 피크(peak)가 생성됨을 확인할 수 있다. 즉, x축 방향으로는 W/u = 205/10 = 20.5 픽셀, y축 방향으로는 H/v = 205/20.5 = 10 픽셀의 주기 성분이 입력 이미지에 있음을 의미한다. 그리고 이는 실제 입력 이미지에 추가된 주기 성분과 정확히 일치한다 (소수점 오차는 u, v좌표를 정수로 표현함에 의한 것이다).


이상으로 주파수 공간에서의 F(u, v)가 입력 이미지 공간에서 어떻게 연관되어 해석될 수 있는지를 실제 예를 통해서 살펴보았다. 마지막으로 앞서 그림 5(b), (c)에서 스펙트럼의 피크(peak) 영역을 지운 후 푸리에 역변환(inverse Fourier transform)하면 아래와 같은 재미있는 결과를 얻을 수 있다 (지운다는 의미는 해당되는 F(u, v) 값들을 0으로 만든다는 의미이다).


그림 6. 푸리에 변환을 이용한 주기 성분 제거


[개발한 것들] - FFT와 모아레 제거 프로그램을 이용하면 이미지의 푸리에 변환, 특정 스펙트럼 삭제 및 역변환을 직접 테스트해 볼 수 있다.


C. 푸리에 변환의 페이즈(phase)


푸리에 변환(Fourier transform)에서 스펙트럼(spectrum)은 잘 알려진 반면 페이즈(phase)는 상대적으로 잘 알려져 있지 않다. 하지만 페이즈(phase)에도 스펙트럼(spectrum) 못지 않은 중요한 정보가 담겨 있다고 한다.


페이즈(phase)를 우리말로 번역하면 '단계'가 되고 전문용어로는 '위상'이 된다. 위키피디아에는페이즈(phase, 위상)를 '반복되는 파형의 한 주기에서 첫 시작점의 각도 혹은 어느 한 순간의 위치'라고 정의한다. 즉, 파형(wave)의 시점이 어디인지가 페이즈(phase)이다. 예를 들어, sin 파와 cos 파는 90도의 페이즈(phase, 위상) 차이가 존재하는 동일한 파형으로 볼 수 있다.


푸리에 변환의 관점에서 보면 페이즈(phase)는 원본 신호를 주기 신호로 분해했을 때 각 주기성분의 시점이 어딘인지(즉, 각 주기성분들이 어떻게 줄을 맞춰서 원본 신호를 생성했는지)를 나타내는 요소가 된다.


아래 그림은 페이즈(phase)의 영향을 보여주는 예로서 파란색 주기성분 신호들을 합쳐서 빨간색 신호가 생성되는 예를 보여준다. 왼쪽, 오른쪽 경우 모두 동일한 주파수의 주기성분들을 합쳤지만 각 성분의 페이즈(phase) 차이로 인하여 전혀 다른 신호가 생성됨을 확인할 수 있다.

그림 7. 페이즈(phase) 차이에 따른 신호 생성의 차이


다음으로 푸리에 변환의 페이즈(phase)가 어떻게 수식으로 표현되는지 살펴보자. (1차원) 푸리에 변환의 계수 F(u)는 식 (12), (13) 및 오일러 공식에 의해 다음과 같이 극좌표(polar coordinate) 형태로 표현될 수 있다 (설명의 편의상 1차원의 경우를 예로 든다).


 --- (14)


☞ 실수축이 x축, 허수축이 y축인 복소평면에서 F(u)는 x축과 이루는 각이 Φ인 막대기의 끝점 (R, I)에 대응된다. 이 때, R = |F|cosΦ, I = |F|sinΦ이므로 F = |F|cosΦ + j|F|sinΦ = |F|e.


이제 식 (14)를 식 (1)에 대입하면,


. --- (15)


와 같이 페이즈(phase) 텀이 주기함수 성분의 시점을 조절하는 텀이 된다.


즉, 푸리에 계수 F(u)에는 대응되는 주기함수 성분의 강도(amplitude)를 나타내는 스펙트럼 정보 |F(u)|와 시점을 조절하는 페이즈(phase) 정보 Φ(u)가 함께 포함되어 있음을 알 수 있다.


참고로, 푸리에 스펙트럼(spectrum)과 페이즈(phase)에 관한 재미있는 비교 결과를 하나 소개한다. 아래 그림 8에서 (a)는 원본 이미지, (b)는 푸리에 스펙트럼을 보존하고 페이즈(phase)를 랜덤(random)하게 했을 때의 역변환 결과, (c)는 페이즈(phase)를 보존하고 스펙트럼을 랜덤하게 했을 때의 역변환 결과이다. 결과를 보면 이미지의 푸리에 변환에서 스펙트럼(spectrum)보다 페이즈(phase)에 보다 더 중요한 정보가 포함되어 있음을 확인할 수 있다.


그림 8. 푸리에 스펙트럼과 페이즈의 중요도 비교



5. 푸리에 변환의 유용한 성질들


마지막으로 푸리에 변환(Fourier transform)에 대한 몇 가지 유용한 성질들을 정리하면 다음과 같다.


- 주파수 공간의 원점 F(0, 0)의 값은 이미지의 평균값과 일치



- Impulse 함수(Dirac delta 함수)에 대한 푸리에 변환/역변환은 유니폼(uniform) 함수 (아래 식에서 푸리에 변환/역변환 관계를 ⇔ 로 표기).



- 가우시언(Gaussian) 함수의 푸리에 변환/역변환은 가우시언 함수가 됨




6. 맺음말


이상으로 푸리에 변환(Fourier transform)에 대한 정리를 마칩니다. 원래는 이렇게까지 길게 쓸 생각은 아니없는데 쓰다 보니 글이 길어졌네요.. ^^



참고자료 및 유용한 관련 글 링크


푸리에 변환 by jipark

푸리에 급수의 시작 by 전파거북이

푸리에 변환 by 전파거북이

페이저(phasor) by AngeloYeo

허수의 존재 의미에 대하여 by AngeloYeo

Magnitude and Phase by Deepa Kundur (토론토 대학)

What information is contained in the phase spectrum of a signal?


by 다크 프로그래머

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  • korjw 2018.02.28 15:51 신고 ADDR 수정/삭제 답글

    페이즈를 이용해본적이 없어서 무지하였는데.. 비교 결과가 신기하네요.. 페이즈가 랜덤하게 변하면 아예 다른 신호로 나오는군요. 페이즈를 이용할만한 곳이 있는지 궁금합니다~

    • BlogIcon 다크pgmr 2018.02.28 18:11 신고 수정/삭제

      통신쪽에서 많이 쓸 것 같긴 한데, 잘은 모르겠습니다.

  • 루루 2018.03.13 20:46 신고 ADDR 수정/삭제 답글

    설명도 잘 하시는데 글도 잘 쓰시네요. 부러워요. 푸리에급수에서 어려움 겪고 있었는데 수학 잘 못하는 사람도이해할수 있는 친절한 글을 만나서 눈물나게 반갑습니다. 좋은 글 감사합니다.

  • 하얀천벌 2018.03.20 17:51 신고 ADDR 수정/삭제 답글

    코세라 컴퓨터 비전 강의를 보다가 푸리에 변환 부분이 어려워서 찾게되었는데 이 글이 이해하는데 많은 도움이 되었습니다. 감사합니다.

    • BlogIcon 다크pgmr 2018.03.20 18:26 신고 수정/삭제

      네, 감사합니다. 코세라 강의는 저도 시간이 되는데로 들어봐야겠습니다 ^^

  • 천비 2018.03.20 20:54 신고 ADDR 수정/삭제 답글

    좋은 설명 감사합니다. 저는 이번에 막 석사 입학한 학생입니다. 타전공에서 넘어온지라 쉽지 않네요.
    질문좀 드리겠습니다.
    우선 영상처리에서 푸리에 변환 같은 주파수로 이용해서 다시 역변환으로 원본영상을 얻으면 많은 이점이 있는 경우들이 얼마나 있는걸까요? 제가 알기론 컨볼루션시에 속도가 빠르다, 필터 통과시에 다양한 영상처리를 할 수 있다(사실 이부분도 마스킹처리로 기존 영상에서 가능한 부분이 아닐까 싶고..) 정도인데 다른 쓰임새가 있을까요?

    두번째로 마지막부분에 스펙트럼을 랜덤하게 하고 페이즈만 보존했더니 형태는 그대로 나타났는데, 사실 이정도면 에지검출이나 세그멘테이션 같은 곳에 충분히 활용할만큼 좋은 결과로 이용될 수 있지 않을까요? 단지 저 영상에서만 저런결과를 보이는 것인지, 다른 모든 영상에서도 저렇게 윤곽이 뚜렷하게 보이는 것인지 알고싶네요.

    • BlogIcon 다크pgmr 2018.03.21 08:16 신고 수정/삭제

      영상처리에서 fft의 응용은 저도 그 정도로 알고 있습니다. 두번째, 페이즈 보존 영상을 이용한 에지검출은 흥미로운데요, matlab 등을 이용해서 직접 결과를 확인해 보셔도 좋을 것 같습니다. 일반적으로 신호의 스펙트럼을 구하면 저주파 성분은 값이 크고 고주파 성분들은 아주 작은 값을 가집니다 (그래서 가시화를 위해서는 log scale을 사용합니다). 그런데, 페이즈 보존 영상은 그러한 값의 차이를 없애고 동일한(유사한) 스펙트럼 값을 부여했기 때문에 결과적으로 고주파 성분(에지 성분)이 역변환 영상에서 강조되게 됩니다. 따라서, 에지가 강조되는 현상은 모든 영상에서 유사하게 나타나리라 생각됩니다. 하지만, 이러한 결과가 에지 검출기로서 유용한지는 확인이 필요해 보입니다 (고주파 성분만 역변환해도 에지 이미지는 얻어지기 때문에...).
      에지검출기로서의 유용성을 떠나서 페이즈 보존 영상을 하나의 새로운 변환으로 본 관점은 개인적으로 신선합니다 (저는 그렇게는 생각 못했거든요..). 페이즈 보존 영상만이 갖고 있는 고유의 특성이 있을 것이고 그 특성과 부합하는 응용을 찾을 수 있다면 의미있는 결과가 될 것으로 생각됩니다.

  • 훈장님 2018.04.17 11:21 신고 ADDR 수정/삭제 답글

    레포트 작성하는 데 참고용으로 좀 쓰겠습니다. 출처는 남기겠습니다. 감사합니다 고맙습니다

  • MENBUNG 2018.04.17 16:32 신고 ADDR 수정/삭제 답글

    FFT, DFT.. 자주 나오는데 제대로 의미를 알지 못한다고 생각되어서 찾아보고 있던 중 좋은 글을 찾았네요.
    대학교에서 직관적인 의미를 깨닫지 못해서 시간 ↔ 주파수 개념으로만 알고 있었는데, 이 글을 통해서 직관적인 이해를 할 수 있었습니다.
    스크롤이 길다고 생각됐었는데 몰입해서 읽으니 어느새 끝까지 다 읽었네요. 감사합니다.

    • BlogIcon 다크pgmr 2018.04.17 21:43 신고 수정/삭제

      네, 제가 봐도 너무 글이 깁니다 ^^. 다 써놓고 보니 글이 너무 길어서 쓸데없이 길게 썼구나 싶었지만 이왕 쓴거 어떻게 하기도 그렇고 그렇습니다. 그래도 긴 글을 끝까지 다 읽으셨다니 감사합니다.

  • 고고피자 2018.04.30 17:18 신고 ADDR 수정/삭제 답글

    좋은 글 써주셔서 감사합니다. 약간 헷갈리는 개념이 많았는데, 이글을 통해서 좀 더 이해하기가 수월해졌네요. 그런데 푸리에 변환을 할 때, 음수값을 같는 주파수에 대한 의미는 어떻게 생각하면 될지 궁금합니다.

    • BlogIcon 다크pgmr 2018.04.30 17:56 신고 수정/삭제

      음수값을 갖는 경우는 실제의 의미는 없다고 생각합니다. 단지 주기함수로 만들어주기 위한 수식상의 장치라 생각합니다.

    • 안녕하세요 2018.05.06 02:49 신고 수정/삭제

      안녕하세요. 지나가던 길인데... 제가 주제 넘게 답변드리자면, 음의 주파수는 반대방향 회전을 의미합니다. 양의 주파수를 갖는 신호와 음의 주파수를 갖는 신호를 함께 이용해줌으로써 하나의 실수 신호를 표현할 수 있게 됩니다.

      자세한 것은 이 영상 참고해주세요. https://youtu.be/K8DuEYyYWNQ

    • BlogIcon 다크pgmr 2018.05.07 08:37 신고 수정/삭제

      @안녕하세요. 감사합니다. 아직 모르는게 많습니다.

  • 로봇박사 2018.06.15 20:53 신고 ADDR 수정/삭제 답글

    고2인데 수학 창의탐구 시간에 멋모르고 푸리에변환을 주제로 정했다가
    며칠 전만해도 멘탈이 나갔었는데
    이글 보니까 이해가 꽤 되는 것 같네요
    정말 감사합니다!

  • signal 2018.06.22 23:25 신고 ADDR 수정/삭제 답글

    안녕하세요. 공부하다가 궁금한게 있어서 질문드리려고 합니다.
    식 (1)에서 ej2πux, u = 0, ±1, ±2, ...은 모든 신호를 생성할 수 있는 직교(orthogonal) 기저(basis) 함수들로 볼 수 있다. 라고 되어있는데, 여기에서 u는 주파수로 알고있습니다. 그런데 이것이 왜 정수여야만 하는지 자세히 알려주실 수 있는지요..? 부탁드립니다..

    • BlogIcon 다크pgmr 2018.06.25 00:36 신고 수정/삭제

      안녕하세요. 정수로 표기한 것은 제 실수입니다. 영상처리 쪽에 있다보니 저도 모르게 이산적으로만 생각해서 정수로 가정한 것 같습니다. 본문 글을 수정했습니다. 감사합니다.

  • 냐냐 2018.06.28 22:52 신고 ADDR 수정/삭제 답글

    정말 감사해요 너무 도움이 되었습니다. 어떤 글보다 명쾌하고 쉽게 이해할 수 있는 글이었어요.
    그런데 혹시 푸리에 역변환 식을 푸리에 변환식에 대입하였을 때 항상 원본입력신호가 나온다는 증명 링크를 얻을 수 있을까요?

  • signal 2018.07.09 13:16 신고 ADDR 수정/삭제 답글

    한가지 질문 드릴 것이 있습니다.
    cos함수를 푸리에 변환하여 phase를 구하게 되면, 0도와 180도가 나오는 것이 정상인 것으로 알고 있습니다. 이는 실수부분과 허수 부분으로 나누어지는 것으로 표현해보면, 허수는 sine 함수로 표현되고, 이는 직교하기 때문에, 0이 되는 것이라고 생각했습니다.
    그런데, 실제로 그래프를 그려보니, 허수가 cos함수의 주파수 f0에 값을 가지고 있었습니다.
    매트랩으로 계산을 하였는데, 이는 컴퓨터 상의 오류인가요? 아니면, 허수 부분을 가지는 것이 정상인가요?
    답변해주시면 감사하겠습니다.

  • BlogIcon 너부리이놈 2018.08.16 10:24 신고 ADDR 수정/삭제 답글

    도넛 이미지 직사각형으로 펼치기
    다크pgmr 2018.02.27 17:16 신고 수정/삭제
    극좌표(polar coordinate)를 일반 유클리디언 좌표(Euclidean coordinate)로 변환하는 방식으로 해결하면 가능하지 않을까 싶습니다. 즉, 도넛 이미지의 각 픽셀에 대한 극좌표 (radius, theta)를 구한 후에, radius를 x축, theta를 y축으로 매핑하면 직사각형 이미지가 얻어질 것으로 생각됩니다.
    ---------------------
    안녕하세요.2월말에 질문 드린걸 이제서야 하고 있네요ㅎㅎ
    radius를 x축, theta를 y축 매핑 하면 직사각형이 되는건 알겠는데
    매핑 시키려면 정수값이 나와야할것 같은데 지름과 각도가 정수값이 안나오는데 어떻게 해결해야 하나요?
    답변미리 갑사드립니다.

    • BlogIcon 다크pgmr 2018.08.16 13:04 신고 수정/삭제

      정수로 근사시키면 되지 않을까요? 3.1→3, 3.7→4

  • coherence 2018.08.20 09:04 신고 ADDR 수정/삭제 답글

    덕분에 푸리에변환에 대해 쉽게 이해할 수 있었습니다.
    저도 질문이 하나 있는데요. 파장에 따른 intensitry 데이터를 FFT를 하면 주파수 축으로 변환이 되는데 matlab에서는 DC포함 총 3 Peak가 뜨잖아요? 그럼 한 peak만 필터링을 하고 ifft를 하면 축이 파장 축으로 다시 넘어오나요?

    • BlogIcon 다크pgmr 2018.08.20 22:49 신고 수정/삭제

      답변을 드리고 싶어도 질문이 난해하네요. 일단 DC가 무엇인지 모르겠고.. 축이 파장축으로 넘어온다는 말도 무슨 의미인지 파악이 어렵습니다.

  • 전자공학도 2018.08.28 01:19 신고 ADDR 수정/삭제 답글

    정말 감사합니다 ㅠㅠ
    무지한 학생에게 정말 하나하나 꼼꼼히, 그리고 이해하기 쉽게 풀어주셔서
    어떤 자료보다 더 많은 도움을 받았습니다.
    꼭 감사의 말씀을 전해드리고 싶었습니다. 지식을 공유해주셔서 감사합니다.

  • iam공돌 2018.09.22 20:47 신고 ADDR 수정/삭제 답글

    이런 글 써주셔서 진짜 감사합니다 ㅎㅎㅎㅎㅎ

  • ㅇㅇ 2018.10.12 02:37 신고 ADDR 수정/삭제 답글

    좋은글 감사합니다. 그런데 shift할때의 내용이 정확히 이해가 가지않습니다.. 질문하나만 드리겠습니다 ㅠㅠ

    x,y를 u,v로 대응시키고 범위는 0~W-1인데 왜 shift가 가능한지 설명하는 예제에선 스펙트럼이 0~W/2까지만 있고 그뒤론 값을 가지지 않는건가요?

    • BlogIcon 다크pgmr 2018.10.12 10:52 신고 수정/삭제

      그 뒤로도 값이 있습니다. 그림 4(좌)는 설명을 위한 그림입니다.. 실제 스펙트럼은 그림 4(우)와 같은 형태가 될 것입니다.

  • 123 2018.11.03 13:43 신고 ADDR 수정/삭제 답글

    푸리에 변환을 설명하면 푸리에 변환은 임의의 입력 신호를 다양한 주파수를 갖는 주기함수들의 합으로 분해하여 표현하는 것인데 수식에서는 왜 입력신호를 분해하는거를 역변환이라고 하는거에요??

    • BlogIcon 다크pgmr 2018.11.05 19:14 신고 수정/삭제

      어떤 식이 푸리에 변환식이냐 역변환 식이냐 구분하는 것은 그렇게 중요한 것 같지는 않은데요. 보기 나름이라서.. 식이야 어쨌든, 입력 신호로부터 주파수 계수를 구하는 것은 푸리에 변환, 주파수 계수로부터 원본 신호를 얻는 것은 푸리에 역변환입니다.

  • 고딩 2018.11.10 18:23 신고 ADDR 수정/삭제 답글

    안녕하세요. 수학 주제탐구로 이와 관련된 내용을 탐구하고 있는 고등학생입니다. [그림 3]에서 원점대칭과 주기성으로 인해 shift가 가능하다고 하셨는데, 이 부분이 잘 이해되지 않아 이렇게 질문 드립니다. 원점대칭이면 스펙트럼 상에서 어떻게 좌표 이동이 가능한가요?

    • BlogIcon 다크pgmr 2018.11.10 23:28 신고 수정/삭제

      그림 4와 손가락 표시(☞) 부분이 그 이유를 설명한 내용입니다.

  • 안녕하세여 글을보고 질문하나 남기려고 합니다
    현재 컴퓨터 비전 안면인식 쪽을 개발중인데 기존 카메라로만 하게된다면 해당 사람과 같은 사진으로도 오픈이 되는경우가 있는데 적외선 카메라를 통해 주파수를 통해 사람과 사진을 구별할 수 있을까요??
    제가 아무래도 전문 수학지식이 없다보니 이렇게 두서없이 질문드리게 되었습니다 .

    • BlogIcon 다크pgmr 2018.11.15 18:21 신고 수정/삭제

      안녕하세요. 적외선 영상에서 주파수를 이용하는 방법은 저도 잘 모르겠습니다. 적외선 영상의 온도 분포를 확인하면 사진과는 구분이 될것 같습니다만.. 그리고 영상에서의 미세한 변화를 감지해서 사람의 맥박수를 셀수 있는 기술이 있다고 들었습니다. 그런 종류의 기술을 적용하면 효과적으로 tampering을 감지할수 있을 것 같습니다.

  • 아 ~ 맥박수도 체킹이 가능하군요 좋은 정보감사합니다 찾아보고 성공적으로 된다면 게시글 하나 남겨서 감사인사 전하도록 하겠습니다 감사합니다 !