라디안(radian)과 디그리(degree)

수학 이야기 2013.01.28 16:20

우리가 일상적으로 사용하는 각의 단위는 디그리(degree)입니다. 즉, 원 한바퀴를 360도로 표현하는 방법입니다. 반원은 180도, 직각은 90도 등 degree는 우리에게 매우 익숙한 각의 단위입니다.


그런데, 각을 표현하는 다른 방법으로 라디안(radian)이 있습니다. 보통 라디안은 부채꼴의 중심각을 가지고 설명되는데, 아래 그림과 같이 호의 길이가 반지름과 같게 되는 만큼의 각을 1 라디안(radian)이라고 정의합니다.



정의에 따르면 왠지 라디안은 반지름에 대한 상대적인 각도의 단위처럼 생각됩니다. 하지만 radian은 degree처럼 절대적인 각도의 단위입니다. 실제로 1 radian은 약 57.3도에 해당하는 각입니다. 그러면 2 radian은 약 114.6도가 되겠지요. 여기서 우리는 degree보다는 radian이 훨씬 큰 각의 단위라는 걸 알 수 있습니다.


반지름이 3이고 중심각이 2 radian인 부채꼴이 있습니다. 그러면 이 부채꼴의 호의 길이는 얼마일까요? radian의 정의에 의해 답은 6입니다. 반지름과 중심각의 크기만 알면 호의 길이를 이렇게 쉽게 구할 수 있다는게 신기하지 않나요? 반대로, 호의 길이가 6이고 반지름이 3인 부채꼴이 있다면 이 부채꼴의 중심각은 얼마일까요? 바로 2 radian입니다. 즉, 약 114.6도입니다. 부채꼴 도형에서 반지름, 중심각, 호의 길이 3가지 중에 2가지만 알면 다른 한가지는 곧바로 구할 수 있게 됩니다.


자동차가 달리고 있는데 오른쪽으로 10도 틀으라고 하면 대략 얼마나 돌려야 할지 감이 올 것입니다. 그런데, 만일 오른쪽으로 0.5 radian 돌려라고 한다면 도대체 이게 어느 정도의 각인지 도무지 감이 오지 않을 것입니다. 이와 같이 우리에게 친숙한 각의 단위는 degree입니다.


그러면, 우리에게 친숙한 degree로만 각을 표현하면 좋을텐데 왜 이렇게 복잡하게 radian이라는 것을 도입해서 문제를 어렵게 하는 걸까요? 사실 저도 이유는 잘 모릅니다. 하지만 분명한 것은 우리 사람이 선호하는 각 체계는 degree인 반면 컴퓨터나 수학에서 주로 사용되는 각 체계는 radian이라는 것입니다. 그래서 표준을 정하거나 공동작업을 할 때 종종 각을 어떻게 표현할 것인가를 두고 사람들끼리 논쟁이 일어나기도 합니다. 사람을 중심에 놓고 생각하는 사람들은 degree를 사용하자고 주장하고, 다른 한편에서는 어차피 컴퓨터에서는 radian으로 고쳐서 사용해야 하기 때문에 계산의 효율성을 위해서 radian을 사용하자고 주장합니다. 


컴퓨터에서 프로그램을 개발할 때에도 degree와 radian을 변환하는 일이 수시로 발생합니다. 사용자에게 각을 입력받을 때는 보통 degree로 입력받은 후 이를 내부적으로 radian으로 고쳐서 필요한 계산을 수행합니다. 그리고 계산된 결과를 보여줄 때는 다시 사람에게 친숙한 degree로 변환하여 보여줍니다. 이러한 변환작업은 사실 번거롭긴 하지만 어쩔 수 없는 일이기도 합니다. 


그렇다면 degree와 radian은 어떤 변환 관계를 가지고 있을까요? 180도는 π radian입니다. 여기서 π(파이)는 3.1415926535... 의 값을 갖는 무한소수로 원주율을 말합니다(원주율 π는 원의 둘레가 지름의 몇 배나 되는지를 그 동안 수학자들이 열심히 노력해서 찾은 값인데, 원둘레 = 3.1415926535..×지름 = π×2r 이 됨을 찾아냈고 이 상수를 원주율 π라 명명한 것입니다). 이 관계식을 이용하면 다음과 같이 자유롭게 degree와 radian의 단위를 변경할 수 있습니다.


180 degree = π radian

1 degree = π / 180 radian

x degree = x * π / 180 radian


π radian = 180 degree

1 radian = 180 / π degree

x radian = x * 180 / π degree


좀전에 자동차 예에서 나온 0.5 radian을 위 수식을 이용하여 degree로 고치면 0.5 * 180 / 3.1415926535 = 28.64788... degree 정도가 됩니다. 그러나, 수식을 이용하지 않고도 대략적인 radian의 값을 파악하는 방법이 있습니다. 그건 먼저 머리속에서 부채꼴을 하나 상상합니다. 그 부채꼴의 호의 길이는 반지름과 같은 길이를 갖도록 합니다. 그러면 그 부채꼴의 중심각이 1 radian입니다. 이제 0.5 radian을 구하고 싶으면 상상속의 그 부채꼴의 중심각을 2등분하면 됩니다. 그러면 대략적으로 0.5 radian이 어느정도의 각인지 알 수 있을 것입니다.


by 다크 프로그래머

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  • 수학초보 2013.07.09 14:38 신고 ADDR 수정/삭제 답글

    좋은글 잘봤습니다.. 근데 ㅠㅠ
    180 degree가 왜 파이 radian 인지 알수있을까요?ㅠㅠ
    잘 이해가 안가네용

    • BlogIcon 다크pgmr 2013.07.09 15:01 신고 수정/삭제

      좋은 질문이십니다.
      원주율 pi의 정의는 원의 지름에 대한 원주(원둘레길이)의 비 즉, pi = l/(2r)로 정의되는 상수입니다 (l은 원주, r은 반지름). 역사적으로 오랜 기간 수학자들이 이 상수값을 구하기 위해 노력했다고 합니다.
      어쨌든, 정의에 의해 l = 2*pi*r이 됩니다. 즉, 원주는 반지름의 2pi배입니다. 그렇다면 반원의 호의 길이는 반지름의 pi배가 되겠지요.. 즉, 반원의 중심각은 pi 라디안입니다.

  • 수학초보 2013.07.09 15:49 신고 ADDR 수정/삭제 답글

    아항 즉 180degree = PI* r
    r = 1 radian 이니깐 r 에 radian 을 넣으면
    180degree = PI * radian 이군요
    친절한 설명 감사합니다 ^^
    아 그리고 1 radian = 180/ PI degree 라고 적혀있는데
    1 radian =( PI * degree)/180 아닌가요? ㅠㅠ

    • BlogIcon 다크pgmr 2013.07.09 17:38 신고 수정/삭제

      pi radian = 180 degree 양변을 pi 또는 180으로 나눠보면 1 radian, 1 degree를 손쉽게 알 수 있습니다..

  • 지나가는행인 2013.11.30 12:19 신고 ADDR 수정/삭제 답글

    정말 이해하기 쉽게 정리되어있네요.. 잘 읽고갑니다~

  • nero 2013.12.09 10:09 신고 ADDR 수정/삭제 답글

    음 2radian 일때 r이 3이라면 호가 왜 6이돼는건가요?
    r이랑 호의길이는 똑같지않나요?
    좀자세히 부탁드림니다 흐엉

    • BlogIcon 다크pgmr 2013.12.09 10:21 신고 수정/삭제

      2도가 1도의 두 배이듯이 2 radian은 1 radian의 두 배에 해당하는 각입니다. 1 radian이라는 각은 호의 길이가 반지름과 같을 때의 중심각으로 정의되는 값이기 때문에 중심각이 2 radian이면 호의 길이가 반지름의 2배가 됩니다.

  • nero 2013.12.09 12:53 신고 ADDR 수정/삭제 답글

    흐엉 고마워요

  • 붉은까마귀 2014.01.24 22:42 신고 ADDR 수정/삭제 답글

    Degree는 '도'라는 단위가 있는데, Radian은 단위가 없습니다.(무단위) 수식을 전개할 때 단위가 없는 것이 있는 것보다 훨씬 편리합니다.

    • BlogIcon 다크pgmr 2014.01.26 07:51 신고 수정/삭제

      radian도 하나의 단위입니다..

    • 나그네 2014.12.18 22:50 신고 수정/삭제

      radian도 엄연한 단위 입니다.
      다만 degree 처럼 수식전개나 미적분시 부가적인 계수가
      발생하지 않아서 생략해도 착오가 없기 때문에
      관례적으로 생략할 뿐입니다.
      다만 이걸 단위가 '없다' 라고 착각하는 사람이 정말 많은 것 같습니다.
      radian도 분명 단위이고, degree의 상수배일 뿐입니다.

  • BlogIcon ^^ 2014.10.08 16:31 신고 ADDR 수정/삭제 답글

    내 나이 36인데 이제 각속도가 뭔지 알았습니다. 감사합아

  • 금도끼은도끼 2015.03.04 11:12 신고 ADDR 수정/삭제 답글

    와우 내나이 43살에 수학공부를 다시하게 될줄이야 ㅠㅠ
    취미로 프로그래밍 공부를 시작했는데 거기서 태양주위로 지구가 돌게하는걸 만들다 보닌가
    라디안이란게 나와서 이게멀가 하구 검색하다가 여기싸이트를 보게되었네요..
    수학공부한지가 넘오래되서 가물가물했엇는데 아주잘보고갑니다
    감사합니다 (__)

  • 모루 2015.06.16 10:30 신고 ADDR 수정/삭제 답글

    고맙습니다. 파이에 대한 이해부터 영상처리까지 많은 부분에서 도움 많이 받아갑니다.
    수식을 이해하는데, 어려움이 많은데... 빠른길은 없겠죠?
    수학의정석과 공대수학을 다시 봐가면서 이해해야 하겠죠?

    • BlogIcon 다크pgmr 2015.06.16 15:23 신고 수정/삭제

      네 따로 방법은 없을 것 같습니다. 추천드리는 방식은 정석이든 공수이든 가장 기초적인 부분만 보시고 (개념이해 정도) 필요한 부분은 그때 그때 자세히 책이나 인터넷 등을 활용하시면 좋을 것 같습니다.

  • ㅁㄴ 2015.08.10 18:08 신고 ADDR 수정/삭제 답글

    쉬운 설명 감사합니다.

  • ㅇ11 2015.09.07 19:31 신고 ADDR 수정/삭제 답글

    저 라디안-60분법 변환법 계산법이 왜 저래되는지 몇달동안 골머리 썩혔는데..... 이렇게 간단한거였다니..깔끔하고 쉬운 설명 감사합니다.ㅎㅎ

  • kamahwang 2015.11.10 20:29 신고 ADDR 수정/삭제 답글

    퍼갈게요.. 감사합니다. 좋은자료

    공부좀 할게요.

  • ㄳ ㄳ ㄳ 2016.04.12 10:40 신고 ADDR 수정/삭제 답글

    정말 쉽게 정리되었어서 좋았습니다
    감사합니다

  • 오곡 2016.07.05 16:17 신고 ADDR 수정/삭제 답글

    잘 배우고 갑니다 ^^

  • DH 2016.08.10 23:51 신고 ADDR 수정/삭제 답글

    안녕하세요. 명쾌한 글 잘보고 갑니다.
    한가지 궁금한게 있습니다.
    Radian은 호/반지름 으로서 단위가 없는 무차원 크기라고 알고 있는데요.
    180(도) / pi = 1rad 에서 pi가 단지 3.141592....라는 상수인데 그렇다면 각도도 하나의 단위로 보지 않는 것인가요?

    • BlogIcon 다크pgmr 2016.08.11 21:41 신고 수정/삭제

      radian 자체가 단위입니다.. 글에도 적었듯이 1 rad은 절대적인 값의 각이고(단위는 rad) deg라는 단위로는 약 57.3 deg에 해당하는 각입니다.

  • ㅇㅇ;; 2016.09.17 03:21 신고 ADDR 수정/삭제 답글

    수식을 쓸때 라디안으로 변환 하는 이유는 °표시를 없에면 수식 계산이 편하기 때문이에요 참고하세요^^;

  • sylee 2016.10.11 15:32 신고 ADDR 수정/삭제 답글

    안녕하세요. 예전부터 가끔씩 들리면서 많이 배우고 가는 학생입니다 :)
    혹시나 참고가 되실까해서요 https://en.wikipedia.org/wiki/Radian
    여기 보시면 dimensional analysis 부분에서 "Although the radian is a unit of measure, it is a dimensionless quantity. ... 이하 생략" 라고 언급되어있는데 수학적으로는 dimensionless 이면서
    관용적으로는 하나의 measurement unit 이라고 하는거 같습니다
    저는 직관적으로는 radian이 반지름과 호의 길이의 비율이기 때문에
    길이를 나타내는 unit이 동일할 때 unit 끼리 소거되면서 무차원이된다고 생각하는 편이 이해하기 쉬웠던거 같습니다 ㅎ

    • BlogIcon 다크pgmr 2016.10.13 03:55 신고 수정/삭제

      안녕하세요. 말씀하신 부분을 읽어보았습니다만 저는 위키에 있는 내용이 조금 잘못된게 아닌가 싶습니다. 보통 단위가 없다는 것은 1이라는 값을 1mm, 1cm, 1m로 해석하듯이 실제 단위에 따라서 다양한 값으로 해석할 수 있다는 의미입니다. 그런데 라디안은 이미 절대적인 고유의 값으로서 다른 값으로 해석될 여지는 없습니다. 호의 길이를 반지름으로 나눈 것은 라디안의 정이라기보다는 그냥 그렇게 구한 값이 라디안 값이 된다는 의미로서 라디안이 단위가 없는 값이라고 하기는 어려울 것 같습니다.

    • 지드하르트만 2017.01.14 01:39 신고 수정/삭제

      정의를 혼동하고 계신 것 같습니다. radian 은 반지름과 호의 길이의 비율이 아니고 반지름과 호의 길이가 같을 때의 중심각을 나타내는 겁니다. 따라서 radian 은 degree 로 변환 될 수 있는 또 다른 단위라고 봐야 하는 것이구요. 마치 second 를 minute 로 혹은 hour 로 변환할 수 있는 것과 유사하죠. minute 나 hour 를 단위가 없다고 하지는 안잖습니까?

  • 노로로 2016.12.14 21:25 신고 ADDR 수정/삭제 답글

    에니어그램 9각형 작도중 정삼각형작도 찾고 120도를 3등분이 되게 작도가 안된다는.
    그러던중 굳이 360으로 만들필요가 있나 싶었는데요. 이진법 으로 아싸리 256 이나 512으로 나누면 컴기계도 좋아할텐데 생각이 들더군요. 근데 찾아보니 연산의 측면이 아니라 원의 성격때문이더라고요. 원주율 파이라는.. ㅠㅠ
    어쨋든 3진법 5진법 7진법 소수들의 진법등등 궁금해지는것도 많고. 수를 표현하는것도 궁금해지네요 .10진법은 2와 5를 소수로 가지고있는데. 우리손가락이 10개라서. 이렇게 만들어진거라면 6개였으면 어땠을까라는 생각을 해봅니다.

  • pokpoongryu 2017.05.05 15:52 신고 ADDR 수정/삭제 답글

    라디안은 단위가 없습니다 단위라는 건 잴 수 있는 최소기준값이 있느냐가 기준이고요. 이러한 개념이 실수가 나오게 된 원인이라고 알고있습니다

  • 동이 2017.06.10 07:35 신고 ADDR 수정/삭제 답글

    라디안은 단위이지만.. 반지름과 호의 길이가 같을 때 중심각을 1라디안라고 칭합니다.
    반지름의 길이는 ? 무수히 많을 수가 있겠죠.
    그래서 반지름의 길이는 단위가 없다고 표현한 것 같습니다..



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