[선형대수학 #3] 고유값과 고유벡터 (eigenvalue & eigenvector)

수학 이야기 2013. 10. 16. 14:35

선형대수학에서 고유값(eigenvalue)과 고유벡터(eigenvector)가 중요하다고 하는데 왜 그런 것인지 개인적으로도 참 궁금합니다. 고유값, 고유벡터에 대한 수학적 정의 말고 이런 것들이 왜 나왔고 그 본질이 무엇인지에 대한 직관이 있으면 좋을텐데요..


아직은 딱히 이것 때문이다라고 결론지을 수는 없지만 고유값, 고유벡터 그 자체의 활용보다는 SVD(특이값분해), Pseudo-Inverse, 선형연립방정식의 풀이, PCA(주성분분석) 등의 주요 응용이 eigenvalue, eigenvector를 그 밑바탕에 깔고 있기 때문은 아닌가 생각하고 있습니다.


이 글에서는 먼저 고유값, 고유벡터 자체에 대한 개념만 살펴보고 SVD, 선형연립방정식, PCA 등에 대해서는 별도 글로 자세하게 다룰 예정입니다.



1. 고유값, 고유벡터란?


고유값(eigenvalue), 고유벡터(eigenvector)에 대한 수학적 정의는 비교적 간단하다.


행렬 A를 선형변환으로 봤을 때, 선형변환 A에 의한 변환 결과가 자기 자신의 상수배가 되는 0이 아닌 벡터를 고유벡터(eigenvector)라 하고 이 상수배 값을 고유값(eigenvalue)라 한다.


즉, n x n 정방행렬(고유값, 고유벡터는 정방행렬에 대해서만 정의된다) A에 대해 Av = λv를 만족하는 0이 아닌 열벡터 v를 고유벡터, 상수 λ를 고유값이라 정의한다.


 ---(1)


--- (2)


좀더 정확한 용어로는 λ는 '행렬 A의 고유값', v는 '행렬 A의 λ에 대한 고유벡터'이다.


즉, 고유값과 고유벡터는 행렬에 따라 정의되는 값으로서 어떤 행렬은 이러한 고유값-고유벡터가 아에 존재하지 않을수도 있고 어떤 행렬은 하나만 존재하거나 또는 최대 n개까지 존재할 수 있다.



2. 기하학적 의미


기하학적으로 봤을 때, 행렬(선형변환) A의 고유벡터는 선형변환 A에 의해 방향은 보존되고 스케일(scale)만 변화되는 방향 벡터를 나타내고 고유값은 그 고유벡터의 변화되는 스케일 정도를 나타내는 값이다.



예를 들어 지구의 자전운동과 같이 3차원 회전변환을 생각했을 때, 이 회전변환에 의해 변하지 않는 고유벡터는 회전축 벡터이고 그 고유값은 1이 될 것이다.



3. 고유값분해를 이용한 대각화 - eigendecomposition


고유값, 고유벡터는 정방행렬의 대각화와 밀접한 관련이 있다 (eigendecomposition은 정방행렬에 대해서만 가능함)


먼저 대각행렬과의 행렬곱에 대해 살펴보면, 대각행렬을 뒤에 곱하면 행렬의 열벡터들이 대각원소의 크기만큼 상수배가 된다(앞에 곱하면 행벡터들이 상수배가 된다). 예를 들어, 3 x 3 행렬의 경우를 보면 다음과 같다.


 --- (3)


행렬 A의 고유값, 고유벡터들을 λi, vi, i = 1, 2, ..., n이라 하자.


 --- (4)


이제 식 (4)를 한꺼번에 표현하여 정리하면


 --- (5)


가 성립함을 알 수 있다.


즉, 행렬 A의 고유벡터들을 열벡터로 하는 행렬을 P, 고유값들을 대각원소로 하는 대각행렬을 Λ라 하면 다음 식이 성립한다.


--- (6)

즉,  --- (7)


이와같이 행렬 A는 자신의 고유벡터들을 열벡터로 하는 행렬과 고유값을 대각원소로 하는 행렬의 곱으로 대각화 분해가 가능한데 이러한 대각화 분해를 eigendecomposition이라고 한다.


한 예로, A = [1 1 0; 0 2 1; 0 0 3]인 경우 A는 다음과 같이 대각화가 가능하다.


 --- (8)



모든 정방행렬이 이런 방식의 eigendecomposition이 가능한 것은 아니지만 대각화 가능한 경우는 뒤에 적기로 하고 일단은 대각화를 하면 어떤게 좋은지 알아보자.


행렬 A의 eigendecomposition을 알면 행렬식 값 det(A), A의 거듭제곱, 역행렬, 대각합(trace), 행렬의 다항식 등을 매우 손쉽게 계산할 수 있다.


 --- (9)


 --- (10)


--- (11)


 --- (12)


--- (13)



4. 고유값분해(eigendecomposition) 가능조건 - 일차독립


앞서 말했지만 모든 정방행렬이 고유값분해가 가능한 것은 아니다. n x n 정방행렬 A가 고유값분해가 가능하려면 행렬 A가 n개의 일차독립인 고유벡터를 가져야 한다.


선형대수학에서 말하는 일차독립(linearly independent)이란 무엇일까?


어떤 벡터들의 집합 {v1, ..., vn}이 있을 때, 이들 벡터들 중 어느 한 벡터도 다른 벡터들의 일차결합으로 표현될 수 없으면 이 벡터들은 서로 일차독립이라고 정의한다.


벡터들의 일차결합이란 a1v1 + a2v2 + ... + anvn (ai는 상수)와 같이 상수를 곱하여 합친 형태를 말한다.


예를 들어 3차원 공간의 좌표축 단위벡터들인 v1 = (1,0,0), v2=(0,1,0), v3=(0,0,1)를 생각해 보면 v2, v3에 어떤 상수를 곱하여 더해도 v1이 나올수 없음은 쉽게 확인할 수 있다. 이와 같이 어떤 벡터도 다른 벡터들의 상수배 합으로 표현될 수 없으면 이 벡터들은 서로 일차독립(linearly independent)이라고 한다.


참고로 n차원 공간은 최대 n개의 일차독립인 벡터들을 가질 수 있으며 n개의 일차독립인 벡터들은 이 공간을 생성하는 기저(basis) 역할을 수행한다.


위 예에서, 3차원 공간에서 좌표축 단위벡터들의 집합 {v1, v2, v3}는 일차독립이지만 여기에 v4 = (-1, 3, 4)를 추가한 {v1, v2, v3, v4}는 일차독립이 아니다 (∵ v4 = -v1+3*v2+4*v3). 즉, 3차원 공간에서 가능한 일차독립인 벡터들의 개수는 최대 3개이다.


또한 v1, v2, v3를 자세히 보면 이 벡터들을 이용하여 3차원 공간의 모든 (x, y, z) 좌표를 생성할 수 있음을 알 수 있다. 어떤 일차독립인 벡터들의 집합 {v1,...,vn}의 일차결합을 통해 어떤 공간의 모든 좌표를 생성할 수 있으면 이 벡터들을 이 공간의 기저(basis)라고 정의한다.


다시 원래 문제로 돌아가서, n차 정방행렬이 고유값분해가 가능하려면 n개의 일차독립인 고유벡터가 존재해야 한다고 했는데 이게 무슨 말인지 아직은 마음에 확 와닿지는 않을 것이다. 그건 고유값, 고유벡터가 어떻게 계산되는지 그 과정에 대한 이해가 필요하기 때문이다.



5. 고유값, 고유벡터의 계산


고유값과 고유벡터를 정의하는 식인 식 (1)으로 다시 돌아가서 이를 v에 대해 정리해보면 다음과 같다.


 --- (14)


우리가 구하고자 하는 고유값, 고유벡터는 식 (14)를 풀어서 나오는 λ와 v이다 (단, v0). 그런데, 식 (14)를 잘 보면 (A-λE)의 역행렬이 존재한다면 v는 항상 v = (A-λE)-10 = 0 만을 해로 갖게 된다. 그런데, 고유벡터는 정의에 의해 영벡터가 아닌 백터여야 하므로 A-λE의 역행렬이 존재하지 않는 경우에만 존재할 수 있다. 따라서, 고유벡터가 존재하기 위해서는 일단은 det(A-λE) = 0 이어야 한다.


 --- (15)


이 때, 식 (15)를 행렬 A의 특성방정식(characteristic equation)이라고 부르며 식 (15)를 λ에 대해 풀면 A의 고유값을 구할 수 있다. 고유벡터는 이렇게 구한 λ를 다시 식 (14)에 대입하여 계산한다.


[예]

다음과 같은 행렬 A에 대한 고유값, 고유벡터를 계산해 보자.


 --- (16)


이 때, 행렬 A를 식 (14)에 대입하여 특성다항식을 구해보면


 --- (17)


이므로 특성방정식은 (2-λ)(1-λ)2 = 0 이 된다.


 --- (18)


이제 특성방정식의 해는 λ = 1, 2인데 잘 보면 λ=2는 단일근임에 비해 λ=1은 이중근임을 알 수 있다. λ에 대응하는 고유벡터의 개수는 λ가 몇중근이냐와 밀접한 관계가 있는데 단일근에 대해서는 1개, 이중근에 대해서는 최대 2개, 삼중근에 대해서는 최대 3개, ... 의 고유벡터가 존재한다.


먼저 λ = 2를 다시 식 (14)에 대입하여 고유벡터를 구해보면,





 --- (19)


따라서, λ = 2에 대응하는 고유벡터는 v = [1, 1, 0]T 로 잡을 수 있다.


마찬가지로, λ = 1에 대해서도 고유벡터를 구해보면



--- (20)


x좌표가 z좌표의 2배인 벡터들은 무수히 많은데 이들은 [2, 0, 1], [0, 1, 0]의 일차결합으로 표현할 수 있으므로 λ = 1에 대응하는 고유벡터를 [2, 0, 1]과 [0, 1, 0] 으로 잡을 수 있다.


☞ x좌표가 z좌표의 2배인 임의의 벡터는 [2t, s, t]로 표현할 수 있다 (단, t, s는 임의의 실수). 그런데, 이는 [2t, s, t] = t*[2, 0, 1] + s*[0, 1, 0]와 같이 [2, 0, 1]과 [0, 1, 0]의 일차결합으로 표현될 수 있다.


아마도 이 시점에서 고유값은 어떻게 구하는지 알겠는데 고유벡터는 뭔가 좀 애매하다고 느끼는 분들이 많을 것으로 예상한다. 그 이유는 어떤 행렬에 대해 고유값은 유일하게 결정되지만 고유벡터는 유일하지 않기 때문이다. 이는 다음 내용을 보면 알 수 있다.


식(1)의 양변에 상수 c를 곱해보면,


 --- (21)


가 되므로 v가 λ에 대한 고유벡터이면 0이 아닌 임의의 상수 c에 대해 cv도 또한 λ에 대한 고유벡터임을 알 수 있다.


또한, v1, v2가 모두 고유값 λ에 대응하는 고유벡터라고 하면 임의의 상수 c1, c2에 대해


 --- (22)


이므로 c1v1 + c2v2 또한 λ에 대한 고유벡터가 됨을 알 수 있다.


따라서 고유벡터는 식 (19), 식 (20) 등과 같은 제약조건을 만족하는 벡터들 중에서 어느 벡터를 사용해도 무방하나 보통은 벡터의 크기를 1로 정규화한(normalized) 단위벡터를 고유벡터로 잡는 것이 일반적이다. 단, 식 (20)의 경우에는 자유도(degree of freedom)가 2이기 때문에 일차독립인 2개의 고유벡터를 잡아야만 가능한 모든 고유벡터들을 대표할 수 있다.


이제 이렇게 구한 고유값, 고유벡터에 대해 아래와 같은 행렬 대각화가 정말로 성립함을 matlab 또는 손계산을 이용하면 쉽게 확인할 수 있다 (또한 고유벡터들의 스케일을 바꾸거나 순서를 바꾸어도 대각화가 성립함도 확인할 수 있다).


 --- (23)



6. 대칭행렬(symmetric matrix)과 고유값분해


정방행렬들 중에서 대각원소를 중심으로 원소값들이 대칭되는 행렬 즉, AT = A (모든 i, j에 대해 aij = aji)인 행렬을 대칭행렬(symmetric matrix)이라 부른다.


그런데, 대칭행렬은 고유값 분해와 관련하여 매우 좋은 성질 2가지를 가지고 있다. 실원소(real-valued) 대칭행렬은 항상 고유값 대각화가 가능하며 더구나 직교행렬(orthogonal matrix)로 대각화가 가능하다는 매우 좋은 성질을 가지고 있다.


 --- (24)

단, 


즉, 모든 대칭행렬은 위 식 (24)와 같이 직교행렬을 이용한 고유값 대각화가 가능하다 (증명1, 증명2).


☞ 위 성질은 원소값이 실수(real number)인 경우에 항상 성립하는 성질이며 만일 원소값이 복소수(complex number)인 경우에는 유니터리(unitary) 행렬로 항상 대각화 가능하다. 그런데 사실 직교행렬을 복소수 공간에서 정의한 것이 유니터리 행렬이기 때문에 대칭행렬은 항상 대각화 가능하다고 생각하면 된다.


이렇게 따로 대칭행렬의 대각화에 대해 단락을 구분하여 적는 이유는 선형대수학에서 워낙 중요한 성질이기 때문이다. 대칭행렬(symmetric matrix)의 이러한 성질은 특이값분해(SVD), 주성분분석(PCA) 등에서 가장 기본이 되는 성질로 활용된다.


모든 정방행렬이 고유값 분해가 가능한 것은 아니지만 대칭행렬은 항상 고유값 분해가 가능하며 더구나 직교행렬로 대각화가 가능함을 기억하자.



※ 직교(orthogonal)와 정규직교(orthonormal), 그리고 직교행렬(orthogonal matrix)


orthogonal과 orthonormal이 서로 용어가 혼동되기 쉬운데 두 용어의 차이를 명확히 할 필요가 있다. 


먼저, 벡터에 대해 얘기를 해 보면 두 벡터 v1, v2가 서로 수직이면(즉, v1·v2 = 0) 두 벡터 v1, v2는 서로 orthogonal 하다고 한다. 그리고 v' = v/∥v∥와 같이 어떤 벡터를 크기가 1인 단위벡터로 만드는 것을 정규화(normalization)라고 한다. orthonormal이라는 말은 orthogonal과 normal이 합쳐진 말로서 두 벡터 v1, v2가 모두 단위벡터(unit vector)이면서 서로 수직이면 두 벡터 v1, v2는 orthonormal(정규직교)하다고 한다.

  • orthogonal: v1·v2 = 0

  • orthonormal: v1·v2 = 0  &  ∥v1∥ = 1, ∥v2∥ = 1


즉, orthogonal, orthonormal은 벡터들 사이의 관계를 나타내는 말인데, 이게 행렬로 넘어가면 조금 의미가 달라진다.


먼저, 행렬에서는 직교행렬(orthogonal matrix)이라는 말은 있어도 정규직교행렬(orthonomal matrix)이라는 말은 없다. 흔히 orthonomal matrix라는 표현을 쓰는데 이는 잘못된 것이며 orthogonal matrix (직교행렬)가 올바른 용어이다.


직교행렬(orthogonal matrix)의 수학적 정의는 자신의 전치행렬(transpose)를 역행렬로 갖는 정방행렬이다.



--- (25)


이와 같이 직교행렬(orthogonal matrix)은 transpose를 시키면(행렬의 열과 행 원소들을 서로 바꾸면) 자신의 역행렬이 되기 때문에 다양한 선형대수학 계산에서 매우 편리한 성질을 가진 행렬이다.


그런데, 직교행렬의 열벡터들은 서로 orthonomal(정규직교)한 성질을 가지고 있다. 즉, 직교 행렬를 구성하는 열벡터들을 v1, v2, ..., vn이라 했을 때 이들은 모두 단위벡터(unit vector)이면서 또한 서로 서로 수직인 성질을 갖는다. 이는 식 (25)로부터 쉽게 도출될 수 있다.


 --- (26)


이러한 성질은 열벡터가 아닌 행벡터들에 대해서도 동일하게 성립한다 (즉, 행벡터들도 서로 orthonormal 하다).


즉, 직교행렬(orthogonal matrix)은 그 행렬을 구성하는 열벡터(행벡터)들이 서로 수직(orthogonal)이면서 크기가 1인 (normal한) 행렬로도 정의될 수 있다.


이상의 내용을 정리하면 다음과 같다.

  • 벡터들이 orthogonal하다: 서로 수직이다
  • 벡터들이 orthonormal하다: 서로 수직이면서 크기가 1인 단위벡터이다
  • 행렬이 orthogonal하다: AAT=E 이다 (행렬을 구성하는 열벡터, 또는 행벡터들이 orthonomal하다)



[선형대수학 #1] 주요용어 및 기본공식

[선형대수학 #2] 역행렬과 행렬식(determinant)

[선형대수학 #3] 고유값과 고유벡터 (eigenvalue & eigenvector)

[선형대수학 #4] 특이값 분해(Singular Value Decomposition, SVD)의 활용

[선형대수학 #5] 선형연립방정식 풀이

[선형대수학 #6] 주성분분석(PCA)의 이해와 활용


by 다크 프로그래머


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  • 감사합니다! 2018.03.12 01:10 ADDR 수정/삭제 답글

    깔끔하게 정리해주신 글 잘봤습니다! 다만 연습을 조금 하다가 궁금한 점이 생겨 이렇게 댓글 남깁니다...

    모든 n x n 행렬에 대한 고유값의 곱이 행렬식이 된다고 말할 수 있냐요?

    제가
    2 4 1
    1 0 3
    2 0 1 을 가지고 고유값 구하는 연습을 해보았는데 값이 하나밖에 나오지 않고 이 값으로 행렬식을 구할 수 가 없네용.. ㅠㅠ

    • BlogIcon 다크pgmr 2018.03.12 09:03 신고 수정/삭제

      해당 행렬은 제가 돌려보니 실수 범위 내에서는 고유분해가 가능하지 않습니다. 이 경우 특성방정식의 허근까지 모두 포함해서 곱해보면 행렬식 20이 나옵니다.

    • 감사합니다!! 2018.03.19 12:13 수정/삭제

      친절한 답변 너무 감사드립니다! 좋은 하루 보내시고 건강하세요! :)

  • palmarium 2018.03.23 18:29 ADDR 수정/삭제 답글

    감사합니다 이해하기 쉽고 좋은 글이네요~
    그런데 한가지 질문이 있습니다
    "5. 고유값, 고유벡터의 계산" 에서
    첫번째 lamda가 2일때, 고유벡터 Vx = Vy 가 같다면 이에 해당하는 components도 굉장히
    많을텐데 왜 Vx=Vy=1로 규정하는건가요?

    • BlogIcon 다크pgmr 2018.03.24 00:21 신고 수정/삭제

      네, 고유벡터는 다양하게 잡을 수 있으니 vx=vy=2로 잡아도 됩니다. 글의 표현을 수정했습니다 ^^ ('lambda=2에 대응하는 고유벡터는 [1,1,0]이다' --> 'lambda=2에 대응하는 고유벡터는 [1,1,0]로 잡을 수 있다')

  • palmarium 2018.03.25 23:22 ADDR 수정/삭제 답글

    감사합니다ㅎㅎㅎ

  • 초보자 2018.04.30 17:26 ADDR 수정/삭제 답글

    다크님... 선형대수 책 추천 부탁드립니다. SVD나 PCA는 제가 검색한 책들에는 없던데... 다크님이 선형대수 관련 작성하신 글들과 같이 볼만한 선형대수 책 추천해주실수 있나요?

    • BlogIcon 다크pgmr 2018.04.30 18:00 신고 수정/삭제

      글쎄요.. 저도 추천할 만한 책은 모르겠습니다. 따로 책을 본 것은 아니라서요.. 제 생각에도 pca, svd 등은 일반적인 선형대수학 책에 나오는 내용은 아닌 것 같습니다. 무슨 책을 봐야 그런 내용이 나오는지는 저도 잘 모르겠습니다. 응용 선형대수학? 뭐 그런 비슷한 제목의 책에 나올 것 같기도 하구요..

    • 초보자 2018.04.30 19:56 수정/삭제

      그럼 다크님꺼로 반복 학습 해야겠네요! 감사합니다!!

  • 초심자 2018.05.09 02:07 ADDR 수정/삭제 답글

    한가지 질문드릴게 있어서 또 찾아뵙네요 ㅠㅠ
    100*100의 이미지가20장 (20장의 object들의 회전정도와 크기가 살짝씩다름) 있을때 이것들을 고유값분해하여 m*m의크기로 키워주면 이미지상의 object들의 크기와 회전정도가 어느정도 보상된다고 PCA관련된 외국 논문에서 언뜻 봤는데 이게 가능한것인지 궁금합니다.
    그리고 고유값 분해할때 PΛQ (Q=P의역행렬 )로 되는것은 알겠는데 Λ=100*m일때 고유값분해 하면 이미지를 100*m이나 m*100으로 만들수는 있겠는데 m*m으로 어떻게 만드는지 궁금합니다.

    • BlogIcon 다크pgmr 2018.05.09 10:59 신고 수정/삭제

      안녕하세요. 일단 질문하신 내용 중 몇 가지가 이해가 안가는데요, (1) 100*100 이미지를 고유값 분해한다는 의미가 무엇인가요? 이미지 각각을 고유분해 한다는 의미안가요? 혹시 PCA를 잘못 아신것 아닌지요? (2) 이미지를 고유분해해서 크기를 키워준다는 의미가 무엇인가요? 고유분해로 이미지의 크기를 키워준다는 것은 저도 처음 듣는 것이라서 어떻게 하는 것인지 모르겠네요. m>100이 되도록 이미지 사이즈를 키우는 것인가요? (3) A = 100*m은 행렬의 크기가 100 x m 행렬이란 의미인가요? (4) 고유분해는 square 행렬에서만 가능하기 때문에 100 x m 행렬은 고유분해가 안됩니다.. 그런데, A를 고유분해해서 100*m 이미지로 만든다는 건 어떤 식으로 가능한 것인가요?

    • 초심자 2018.05.09 16:52 수정/삭제

      (1) 100*100의 행렬을 이루고있는 이미지를 특이값 분해할때처럼 분해하는데 특이값분해는 정방행렬이 아닌 행렬을 분해할때 쓰는 방법이고 행렬의크기가100*100으로 정방행렬이기 때문에 고유값분해로 분해하여야하는데
      P는 고유벡터들을 열백터로하는이라고 하셨고Λ는 고유치의대각행렬이고 Q는 P의 역행렬이며 PΛQ이런식으로 분해되는데 Λ의크기로 m*100의크기로 분해한다는 의미였습니다Λ의크기를m*100의 크기로 할것이기에
      P의크기와Q행렬의크기가 어떻게 되야A=PΛQ의 크기로m*m의 크기로 만들수있는지가 궁금한거였습니다
      제가 pca를 잘못 이해했을수도 있습니다
      저내용을 pca관련 해외 논문에서 본것이기에.........

    • BlogIcon 다크pgmr 2018.05.09 17:43 신고 수정/삭제

      네.. 질문하신 내용이 조금은 이해가 되었습니다. 하지만, 어떤 행렬을 분해해서 minor한(0에 가까운 값을 갖는) 특성값들을 제거할 수는 있지만 그렇다고 해서 원래 행렬의 차원이 변하지는 않습니다. 즉, Λ=100*m를 아무리 변경시켜도 A는 여전히 100*100으로 변하지 않습니다. 그리고 PCA 관련 논문이라면 PCA는 개별 데이터가 아니라 데이터들 집합 전체에 대해 이루어지는 것이기 때문에 (데이터들로부터 공분산 행렬을 구하고, 공분산 행렬을 고유분해), 이미지를 고유분해 한다는 것이 조금 이상합니다.
      제 생각에는 아무래도 해당 논문을 다시 한번 천천히 읽어보시면 좋을 것 같습니다. 말씀하신 내용만으로는 어떤 문제인지 짐작이 어렵습니다. 그런데, m은 100보다 큰수인가요 아니면 작은수인가요?

    • 초심자 2018.05.09 22:50 수정/삭제

      답변해주셔서 감사합니다.
      m이 100보다 큰수인지 작은수인지 아직은 헷갈려서 다음에 다시 질문드리도록 하겠습니다.
      이질문이외에 질문을 하나더 드려도 될까요?ㅜ
      행렬 A의 고유벡터들을 열벡터로 하는 행렬을 P, 고유값들을 대각원소로 하는 대각행렬을 Λ라 하면 다음 식이 성립한다
      A=PΛP의 역행렬 이 성립 한다고 설명해주셔는데
      100*100행렬의 이미지를 A라고 놨을때
      A행렬의 고유벡터는 100*100의 크기로 구해지고, 고유치는100개가 나와서 대각행렬로 만들어서 100*100의 Λ로 만들어주는데 어떻게 100*100의 고유벡터들을 열벡터P로만드는지 궁금합니다
      Λ와 곱셈이 되려면 P는 1*100이 되어야하는게 아닌지.....

    • BlogIcon 다크pgmr 2018.05.10 00:04 신고 수정/삭제

      A의 고유벡터는 100*100의 크기로 구해지지 않고 100*1로 구해집니다.. 그리고 P의 크기는 100*100이 맞습니다.

    • BlogIcon 다크pgmr 2018.05.10 10:41 신고 수정/삭제

      아마도 잘은 모르겠지만 pca에 대한 이해에 계속 문제가 있는 것 같습니다.. 보통 이미지를 직접 고유분해하지는 않습니다. 100x100 이미지라면 보통은 픽셀들을 일렬로 늘려서(연결해서) 10,000 차원 열벡터로 만든 후에, 이렇게 얻어진 10000차원 벡터를 데이터 1개로 보고, 이러한 이미지 데이터들을 모아서 분포 특성을 분석하기 위해 pca를 적용합니다. 일단, 이미지 데이터들로부터 공분산 행렬을 구하면 10000 x 10000 공분산행렬이 얻어지고 이것을 고유분해하면 고유벡터들이 얻어지는데 이 고유벡터들을 주성분 벡터라고 부릅니다. 그리고 이렇게 얻어진 주성분 벡터들을 이용해서 원래의 이미지를 근사하거나 분석하는 것이 일반적인 과정입니다..

  • lazycat 2018.08.01 13:52 ADDR 수정/삭제 답글

    안녕하세요!

    일단 글 잘 보고 있습니다. 너무 잘 정리해주셔서 선형대수학 복습교과서 용도로 사용중입니다 ㅎㅎ

    학부에서 배울때는 벡터나 행렬의 기하학적 의미에 대해서 그다지 궁금해하지 않았었는데요,,

    다크님 글을 보니 이해의 범위가 확장되는 느낌입니다.

    이번 글 보면서 궁금한게 생겼는데요..

    대칭행렬에도 특별한 기하학적 의미가 있을까요??

    • BlogIcon 다크pgmr 2018.08.01 15:55 신고 수정/삭제

      대칭행렬에 대한 기하학적 해석은 딱히 없는 것 같습니다.

  • BlogIcon 먹튀 검증 2018.08.05 14:18 신고 ADDR 수정/삭제 답글

    잘보고갑니다~

  • 드디어!! 2018.12.10 22:29 ADDR 수정/삭제 답글

    책에 orthogonal matrix나 orthonormal같은 표현들이 계속나와서 헷갈렸는데 드디어 제대로 이해하고 가네요 감사합니다!!

  • 러너 2019.03.22 21:47 ADDR 수정/삭제 답글

    안녕하세요, 다크프로그래머님

    너무 잘 정리해주셔서 많은 도움이 되었습니다.

    궁금한점이 있는데, 6 x 6 정방행렬에 대하여 rank 5의 reduced pseudo inverse matrix를 구한다면,

    시그마_1 ~ 시그마_5까지의 singular value와 left singular vector 그리고 right singular vector(시그마_5에 대한 벡터까지만)를 곱하여 얻어낸 6 x 6의 행렬이 구해지는 걸까요?

    추가로, 고유값 분해를 확인해보기 위해 매트랩에서 A 행렬 = [1 1 0;0 2 1;0 0 3] 을 eig 함수로 고유값을 찾고 그에 대한 벡터까지 확인해보았는데, 직접 풀어주신 기저 벡터와는 다른거 같더라구요?.. 그렇게 되면 고유값 분해가 안되던데.. 혹시 매트랩으로 구현하셨을 때 어떻게 하셨을까요?

    • BlogIcon 다크pgmr 2019.03.23 23:46 신고 수정/삭제

      6x6 행렬에 대해 SVD를 한 후, sigma_6 = 0으로 놓고 얻은 행렬은 rank 5 근사행렬이고, 이 근사행렬에 대해 pseudo inverse를 구하면 원하시는 reduced pseudo inverse가 얻어지겠네요.
      그리고, 두번째 질문은 고유값에 대응되는 고유벡터가 유일하지 않다는 점을 기억하면 좋겠습니다. 만일 행렬 A의 고유값이 lambda, 고유벡터가 v라고 하면, Av = lambda*v인데 임의의 scalar k에 대해 A(kv) = lambda*(kv)이기 때문에 임의의 kv가 모두 고유벡터가 됩니다. 메트랩에서는 기본적으로 가능한 kv들 중에서 unit 벡터를 고유벡터로 반환합니다.

  • 러너 2019.03.25 10:38 ADDR 수정/삭제 답글

    유닛 벡터인 고유벡터를 이용하게 되면 역행렬이 나오지 않는데(A*A^-1 /= E), 의도적으로 역행렬이 나오는 고유벡터를 뽑아줘야 하는건가요?..

    • BlogIcon 다크pgmr 2019.03.25 11:05 신고 수정/삭제

      유닛 벡터인 고유벡터를 이용한다고 해서 역행렬이 안나오지는 않는데요.. 어떤 경우에 그런 경우가 발생하나요?

  • 러너 2019.04.01 20:46 ADDR 수정/삭제 답글

    제가 잘못 계산했었습니다.

    감사합니다!!

  • 와우 2019.04.11 19:06 ADDR 수정/삭제 답글

    와 이렇게 술술 읽히는 선형대수는 처음입니다....몇년 전에 쓰여진 글임에도 방금 옆에서 말씀해 주시는 것 처럼 쭉쭉 읽힙니다. 덕분에 저같은 소시민은 살맛납니다... 좋은 글 감사합니다!!

  • 앗..아아 2019.06.21 20:46 ADDR 수정/삭제 답글

    이 블로그는 컴퓨터 비전 분야의 성지가 됩니다....

  • 벼랑 2019.08.15 10:30 ADDR 수정/삭제 답글

    eigendecomposition 2번째 단락에 '뒤'가 두번 나오네요!
    사소하지만 이 완벽한 글에 완벽을 더하기 위해 알려드립니당
    선형대수 공부에 도움이 많이 되었습니다!

  • 놀자수학 2019.09.24 21:19 ADDR 수정/삭제 답글

    학업 중단후 수년을 헤매다가 올해 재입학하여 공부중인데
    원서와 영어강의 벽을 만나 성취가 지지부진하던 중에
    이런 귀한 곳을 발견하여 읽다가 감동을 받았습니다.
    핵심을 놓치지 않고 짚으면서도 사족없이 이해하기 너무 쉬운 글들 정말로 감사합니다!!

  • 감사합니다 2019.10.22 08:28 ADDR 수정/삭제 답글

    수 시간동안 들은 교수님의 영어강의보다 훨씬 더 직관적이고 명쾌하게 이해할 수 있었습니다
    정말 감사드립니다.

  • 김수호 2019.11.19 12:47 ADDR 수정/삭제 답글

    감사합니다. 많은 도움이 되었습니다!

  • 수행자 2020.01.19 22:20 ADDR 수정/삭제 답글

    Svd와 연결지었을때 A가 4×3행렬인경우 AA' 행렬은 대칭행렬이지만 각열이 linearly independent하진 않는데요. AA'는 하나의 singular value가 0 이긴하지만 대각화가 되는것으로알고있습니다. 그렇다면 n차 정방행렬이 대각화가 되기위한 조건인 각 열의 선형독립이 엄밀하게는 맞지않는것인가요?
    좋은자료정말 감사합니다!!

    • BlogIcon 다크pgmr 2020.02.24 11:27 신고 수정/삭제

      안녕하세요. 전제에서 약간 오해가 있는 것 같습니다. n차 정방행렬이 대각화가 되기위한 조건은 각 열이 선형독립인 것이 아니라 선형독립인 n개의 고유벡터가 존재하는 것입니다. 각 열이 선형독입인 것은 그 행렬이 역행렬을 가질 조건입니다. 어떤 행렬이 역행렬은 없더라도 대각화(고유분해)는 가능할 수 있습니다.

  • 철홍성 2020.01.27 16:16 ADDR 수정/삭제 답글

    공부에 정말 큰 도움이 되었습니다. 감사합니다.

  • BlogIcon gkj 2020.06.16 14:36 ADDR 수정/삭제 답글

    안녕하세요. 제가 고유치 해석과 관련해서 고유치 기본 개념 자료를 찾다가 정리가 잘 되어있어서 참조를 하고 싶은데 추후에 여기 자료 일부를 캡쳐해서 사용할 수 있을까요? 허락해 주신다면 게시글의 링크와 출처 명시하여 사용하고 싶습니다. _참고로 사용하게 된다면 건물의 고유 진동을 찾는것과 관련한 고유치해석 설명과정에서 초기 개념에서 잠시 언급하는 정도이겠습니다.

    • BlogIcon 다크pgmr 2020.06.24 23:18 신고 수정/삭제

      네. 괜찮습니다. 당연히 가능한 것 아닌가 싶습니다..