가우스와 등차수열

학생시절 수학 문제집 간지에서 읽었던 독일 수학자 가우스에 대한 일화가 아직도 기억에 남는다.

벽동공장에서 일하는 아버지를 둔 가우스는 바닥에 쪼그리고 앉아서 조약돌을 가지고 노는게 일상이었다고 한다. 가우스가 초등학교 시절에 하루는 선생님이 학생들에게 벌로 1에서 100까지 더하라는 문제를 내 놓고는 쉬고 있었다고 한다. 내심 그거 다 더할라면 한참 걸리겠지 하고 있었는데 문제를 내자마자 잠시후 한 학생이 벌떡 일어나서는 바로 정답을 말했다고 한다. '어떻게 벌써 다 풀었니' 하고 물으니 가우스가 대답하기를 돌을 1개, 2개, 3개, ..., 100개 이렇게 순서대로 한줄로 놓고 이것들을 다 더하면 되는데, 이번에는 먼저 놓아진 돌들의 밑에다가 반대로 100개, 99개, ..., 1개 순으로 돌들을 놓고 위아래 순서대로 더하면 항상 101개가 되기 때문에 윗줄과 아랫줄 돌들을 다 합치면 총 101 x 100 = 10100개가 되며 이것의 절반인 10100/2 = 5050개가 답이라고 했다 한다. 

위 일화는 문제집의 단원 중 등차수열 부분의 뒷 부분에 있었던 것으로 기억되는데 당시 이걸 읽으면서 참으로 대단하구나 하고 감탄을 했던 것 같다. 위 문제를 일반화하면 '1에서 n까지 더하면 n(n+1)/2 이다'라는 잘 알려진 수학 공식이 된다. 이걸 그냥 공식으로 암기해서 문제를 풀 수도 있고 아니면 가우스처럼 풀 수도 있을 것이다. 하지만, 공식으로만 암기해서 문제를 풀었던 사람은 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 101과 같이 조금만 문제가 변해도 당황해 버리고 만다. 그 차이는 생각보다 크며 수학이 지긋지긋한 과목이 될지 아니면 정말 흥미롭고 성취감을 느낄 수 있는 재미있는 학문이 될지는 여기서 갈린다. 보다 중요한 사실은 이러한 올바른 수학적 마인드 및 접근방식을 통해 머리는 끊임없이 훈련이 되고 성장해 간다는 것이다.

☞ 조카에게 들으니 너무 유명한 얘기라서 요즘 학생들은 대부분 다 알고 있다고 하네요 :)

by 다크 프로그래머