뿔의 부피가 기둥 부피의 3분의 1인 이유

수학 이야기 2013.02.24 22:38

삼각뿔, 사각뿔, 오각뿐, 원뿔 관계없이 모든 뿔의 부피는 밑면넓이 x 높이 x 1/3 입니다. 즉, 기둥 부피 (밑면넓이 x 높이)의 삼분의 일입니다.




왜 뿔의 부피는 기둥 부피의 삼분의 일일까?


고등학교 수학의 적분을 이용하면 계산상으로 3분의 1임을 알 수는 있지만, 그냥 직관적으로 이해할 수 있는 방법은 없을까 고민을 해 봤습니다.


제가 최종적으로 발견한 방법은 다음과 같습니다.




위 그림과 같이 옆으로 눕혀져 있는 삼각 기둥이 있습니다. 이 삼각기둥을 빨간색 선을 따라 둘로 나누면 윗 부분은 삼각뿔, 아랫 부분은 사각뿔이 됩니다. 이제 아래 사각뿔을 다시 둘로 나누면 삼각뿔 2개가 됩니다. 그래서 결국 마지막 그림처럼 삼각뿔 3개(A, B, C)가 됩니다.

그런데, 이 삼각뿔 3개의 부피가 모두 같기 때문에 이로부터 삼각뿔의 부피가 삼각기둥 부피의 1/3이 됨을 알 수 있습니다.


이유를 좀더 살펴보면, 삼각뿔 A와 삼각뿔 B는 서로 밑면의 면적이 같고 높이가 같기에 부피가 같습니다. 원래의 삼각기둥에서 보면 삼각뿔 A의 밑면은 삼각기둥의 윗면, 삼각뿔 B의 밑면은 삼각기둥의 밑면으로 A, B가 서로 같습니다. 다음으로, 삼각뿔 B와 삼각뿔 C는 사각뿔을 둘로 나눈 것인데 마찬가지 이유로 부피가 서로 같습니다.


위 설명에서 기본적으로 깔린 전제는 밑면의 면적이 같고 높이가 같은 삼각뿔들은 부피가 서로 같다는 점입니다. 이는 동전을 일렬로 높게 쌓는다고 할 때 동전을 똑바로 쌓거나 아니면 피사의 탑처럼 조금씩 어긋나게 쌓거나 결과적으로 부피는 모두 같다는 점을 생각하면 됩니다.


삼각뿔만 증명되면 사각뿔, 오각뿔, 육각뿔, 원뿔 등 다른 뿔도형들도 모두 부피가 기둥의 1/3임이 증명되는 셈입니다. 왜냐하면 모든 뿔도형들은 가느다란 삼각뿔들로 잘게 나눌 수 있기 때문입니다.


처음부터 위와 같은 방법을 찾아낸 것은 아닙니다. 먼저 한 방법을 생각해 내고, 계속해서 또 좀더 쉽고 직관적인 설명 방법을 찾아내고, 그런 과정을 거치다 보니 위 방법까지 생각해 내게 되었습니다. 아래에 그동안 생각해 냈던 다른 방법들을 적어 봅니다. 맨 처음에 생각해 냈던 것이 방법1, 그 다음이 방법2, 방법 3, 그리고 마지막이 위에 설명한 방법입니다.



[방법1]




즉, 위 그림처럼 원뿔과 원기둥을 나란히 옆으로 눕혀놓고 뿔 꼭지점에서의 거리에 따른 단면적을 생각해 봅니다.


그림을 잘 보면 원기둥은 거리가 멀어져도 단면적이 변화가 없습니다. 그러나, 원뿔은 거리가 0일때는 단면적이 0이지만 거리가 멀어질수록 점점 단면적이 증가하여 거리가 h일때 원래 밑면넓이인 S가 나옵니다.


이 때, 원뿔의 단면적이 증가하는 정도는 뿔 꼭지점에서의 거리의 제곱에 비례하여 증가합니다. 즉, 원뿔의 거리에 따른 단면적의 변화 그래프는 포물선을 그린다는 의미가 됩니다.


이 포물선의 밑부분(그림에서 하늘색 부분)의 면적이 원뿔의 부피에 해당합니다. 원기둥의 경우는, 거리에 따라 단면적의 변화가 없기 때문에 붉은색 사각형 영역의 넓이가 원기둥의 부피에 해당합니다.


그런데, 포물선의 경우 포물선 아랫부분의 넓이는 포물선 윗부분 넓이의 절반이고, 전체 사각형 넓이에서는 삼분의 일입니다. 이건 정적분으로 계산해 보면 나옵니다.


원뿔, 원기둥의 경우 뿐만 아니라, 삼각뿔, 사각뿔, 오각뿔 등 다른 각뿔의 경우도 모두 마찬가지로 해석할 수 있습니다.


☞ 설명 내용중, 원뿔의 단면적이 거리의 제곱에 비례하여 증가한다는 사실은 도형의 닮은비를 이해하고 있어야 합니다. 닮은 도형에서 도형의 길이가 2배 증가하면 면적은 길이의 제곱배(2x2 = 4배), 부피는 길이의 3제곱배(2x2x2 = 8배) 증가합니다. 작은 주사위 여러 개를 쌓아서 큰 주사위 모양을 만들어 보면 쉽게 이해할 수 있을 것입니다. 또한, 설명 내용 중 포물선 아랫부분(색칠 부분) 면적이 원뿔의 부피와 같다는 개념은 적분에 대한 기본원리를 제대로 알고 있다면 쉽게 이해할 수 있을 것입니다. 이 부분에 대한 설명까지 모두 하기에는 너무 글이 길어지기에 알고 있다는 가정하에 설명을 생략했습니다.

=> 생각해 보니 미분, 적분의 개념을 정확히 이해한다는 것은 수학에서 매우 중요한 것 같습니다. 미적분에 대한 내용을 따로 시간을 내서 글을 올려 보도록 하겠습니다.

=>  [수학 이야기] - 미분과 적분 제대로 알자



[방법 2]


원기둥을 이용한 방법입니다. 방법1이 너무 복잡한 것 같아서 다른 해석 방법을 찾다가 생각해 낸 것입니다.




그림처럼 붉은색 선을 따라 원기둥을 둘로 나눕니다. 그러면, 윗 부분은 거꾸로 서 있는 원뿔, 아랫부분은 가운데가 푹 파인 원기둥입니다.


원뿔 부피 = πr2 * h * k

파인 원기둥 = 옆면넓이 * r * k = (2πr*h) * r * k = 2πr2hk

원래 원기둥 부피 = πr2 * h


원뿔 부피 + 파인 원기둥 부피 = 원래 원기둥 부피

πr2hk + 2πr2hk = πr2h

k + 2k = 1

k = 1/3


마찬가지로, 1/3을 곱하면 뿔의 부피가 나오네요.



[방법3]


삼각기둥을 이용한 방법입니다. 방법 2에서 영감을 얻어서 생각해 낸 방법입니다..



그림처럼, 삼각기둥이 옆으로 누워 있는데, 이걸 붉은색 선을 따라서 둘로 나눕니다. 그러면 윗 부분은 옆으로 누워있는 삼각뿔이고, 아랫부분은 사각뿔입니다.


삼각뿔의 부피 = 밑면넓이 * 높이 * k = (b*h*1/2) * a * k = abhk/2

사각뿔의 부피 = a * b * h * k = abhk

삼각기둥 부피 = (b*h*1/2) * a = abh/2


삼각뿔 부피 + 사각뿔 부피 = 삼각기둥 부피

abhk/2 + abhk = abh/2

k/2 + k = 1/2

k = 1/3


즉, 1/3을 곱하면 뿔의 부피가 나오네요.


(만일 삼각뿔과 사각뿔에 같은 k를 곱하는게 걸린다면, 밑의 사각뿔을 다시 둘로 나누면 됩니다.)

by 다크 프로그래머

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  • BlogIcon 권준형 2013.03.27 02:22 신고 ADDR 수정/삭제 답글

    오류가 있습니다. 님이 발견하신 증명 중에서 세 강체의 부피가 같다는 부분에서
    밑면과 높이가 같으므로 세 뿔의 부피는 같다는 부분이 증명이 필요합니다.
    결국 적분이 필요합니다...

    • BlogIcon 다크pgmr 2013.03.27 22:19 신고 수정/삭제

      먼저 관심을 가져 주어서 감사합니다.
      '밑면의 넓이가 같고 높이가 같은 두 삼각뿔은 부피가 서로 같다'는 전제에는 말씀하신 것처럼 적분이 개념이 사용되었습니다. 밑면의 넓이가 같은 두 삼각뿔을 밑면에 수평하게 자를 때, 닯은 도형의 비를 이용하면 어떤 높이에서든지 두 삼각뿔의 단면적이 서로 같기 때문에 결국 부피도 같다는 점을 전제로 한 것인데, 수식계산은 아니지만 적분의 원리가 들어간 것은 맞습니다.

  • 유재상 2013.05.08 16:21 신고 ADDR 수정/삭제 답글

    궁금했는데 잘 봤어요ㅎ
    좋은 정보 감사합니다
    근데 방법 2에서 원뿔의 부피와 파인 원기둥의 부피에 '같은 k(상수)'를 곱하셨는데 두 상수의 값이 왜 같은 건지 이해가 안 가네요
    설명 좀 부탁드려요!

    • BlogIcon 다크pgmr 2013.05.08 17:35 신고 수정/삭제

      지금 제가 봐도 햇갈리네요 ^^; '모든 뿔의 부피는 기둥 부피의 k배이다'라고 가정하고 푼 것인데 가정이 좀 그렇죠?
      구분구적법의 원리를 생각해보면 원의 넓이는 원주 x 반지름 x 1/2이고, 구의 부피는 구의 겉넓이 x 반지름 x 1/3과 같이 구할 수 있습니다. 마찬가지로 파인 원기둥 부피도 옆면넓이(뿔의 밑면처럼 생각) x 반지름(뿔의높이) x 1/3와 같이 구할 수 있습니다. 그런데, 1/3임은 아직 모르는 상태이기 때문에 k로 잡은 것이고, 원뿔 부피도 원기둥윗면넓이 x 원기둥높이 x k로 잡은 것입니다. 어떻게 설명이 되었나 모르겠네요..

  • 다크 2013.09.20 22:50 신고 ADDR 수정/삭제 답글

    적분이 전 전혀 필요하지 않다고 생각합니다... 일단 잘보면 3개를 자른걸 다시합쳐보면 다 높이가 같다는 전제가 일단먼저 깔리는데 그다음 으로는 밑변이 있죠? 각 삼각뿔의 밑변을 보시면 맨첨에 첫 삼각뿔을 만들었을때의 밑변하고 나머지 부분의 삼각뿔2개를 만든 도형의 밑변넓이 비례를 보면 1:2라는걸 알수있죠! 마지막에 삼각뿔 나머지 2개를 만들면 결국 3개는 다같은 부피라는 말이됩니다. 전혀 적분이 필요없는 것이죠ㅎㅎ

    • BlogIcon 다크pgmr 2013.09.22 09:19 신고 수정/삭제

      위 권중형님의 댓글은 '밑면의 넓이가 같고 높이가 같으면 부피가 같다'는 전제 자체에 적분의 개념이 이미 사용되었음을 지적한 것으로 이 전제를 증명하려면 적분이 사용되어야 하니 그런 측면에서는 맞는 말씀이라 생각합니다.

  • 다크 2013.09.20 22:53 신고 ADDR 수정/삭제 답글

    추가 설명을 해드리면 삼각원뿔 이랑 원기둥인데 한바퀴 돌려봣자 삼각뿔이랑 삼각기둥을 돌려서 겹쳤다는데 의미가있죠 제 설명에 틀린부분이 있다면 지적 부탁 드립니다ㅎㅎ

  • 궁금 2013.10.07 14:50 신고 ADDR 수정/삭제 답글

    파인원기둥부피공식이맞는건가요? 왜옆면넓이*r인지요?

    • BlogIcon 다크pgmr 2013.10.07 15:32 신고 수정/삭제

      파인원기둥 부피는 옆면넓이 * r * k이구요, k는 구하고자 하는 상수입니다.
      피자를 자르듯이 파인 원기둥을 무한히 잘게 나누었을 때 각각의 조각은 원래 원기둥의 옆면 쪽을 밑면으로 하고 높이가 r인 사각뿔이 됩니다. 사각뿔의 밑면적을 Si라 하면 사각뿔 부피는 Si * r * k이고 이들을 모두 더한 (S1 + S2 + ... Sn) * r *k = 옆면넓이 * r * k = 파인 원기둥 부피로 계산한 것입니다.

  • 둘앙 2014.12.27 16:09 신고 ADDR 수정/삭제 답글

    출처를 밝히고 수학 시간에 수업 자료로 활용해도 될까요? 정말 직관적이고 명쾌한 자료라 수업에 참고하면 정말 좋을 것 같다는 생각이 듭니다. 양해해주신다면 유익하게 사용하겠습니다.

  • 네로 2015.01.12 23:36 신고 ADDR 수정/삭제 답글

    저기요 님이 최종적으로 발견했다는 그 방법 있잖아요...
    http://navercast.naver.com/contents.nhn?rid=22&contents_id=266
    여기 보시면 똑같은 방법이 유클리드의 원론에 나온다고 되어 있는데요...?!
    어쨌든 도움 많이 되었습니다 감사합니다 ㅎ

    • BlogIcon 다크pgmr 2015.01.13 07:25 신고 수정/삭제

      정말 그렇네요.. 유클리드와 같은 방법으로 접근했다는게 신기하면서도 재밌네요.

  • Ha's 2015.04.20 11:15 신고 ADDR 수정/삭제 답글

    마지막 풀이 감명깊습니다.
    물론 어떻게 K와 K'로 두지 않을 수잇지 했엇는데(어떻게 k=K').
    댓글 보고 앗차 싶고^^ ..
    사실, 꼬맹이 가르치다가, 1/3을 왜 곱합니까? 물어 올때, 미적분을 배워야 한단다 하고 피해간 후(뉴턴이전 과제일텐데 뭔가 방법이 잇을텐데 추측했지만)
    가끔 혼자서 고민하던 문제인데... ㅎㅎㅎ 감사합니다.

  • 행인 2015.07.01 10:40 신고 ADDR 수정/삭제 답글

    저도 나중에 공식을 까먹으면 매번 적분해야하나 하다 좋은 글 보고 가네요ㅋ
    도움 많이 되었습니다. 감사합니다 ^^

  • BlogIcon 김병지 2015.11.07 14:06 신고 ADDR 수정/삭제 답글

    순환논리투성인데

    • BlogIcon 다크pgmr 2015.11.09 09:26 신고 수정/삭제

      네 그런 측면이 있습니다.

    • 효짱 2017.05.15 02:55 신고 수정/삭제

      제가 초등학교때 이거 기하학적으로 완전 풀이한것 있습니다 시간날때 올려보도록 할께요 초등학교때 배우는 일차원 방정식이면 증명가능했어요 꽤나 설명과정이 복잡하긴 했어던걸로 기억되요

  • 효짱 2017.05.15 09:08 신고 ADDR 수정/삭제 답글

    초등학교 6학년때 선생님께서 수업외 시간에 원뿔입체 면적 문제 내셔서 그때 풀었던 방법입니다 그 이후 원구, 도넛 입체 면적 문제 내셔서 몇시간씩 나름의 아이디어로 증명했던 생각이 나네요 실제로 제가 2차원 방정식만으로 초등학교때 원뿔 입체면적을 증명했던 방법입니다 초등학생도 이해 시킬수 있을 만한 쉬운 방법이라 생각되네요 아래 브로그 글 참조하세요~
    http://naver.me/GGORHfvx

    • BlogIcon 다크pgmr 2017.05.15 16:51 신고 수정/삭제

      네 감사합니다. 풀이과정을 다 이해한 것은 아니지만 과정 중에서 (r1 + r2)^2 = r1 * r1 + 2 * r1 * r2 + r2 * r2가 되어야 할 것 같습니다.

  • 2017.05.17 18:36 신고 ADDR 수정/삭제 답글

    파인 원기둥 = 옆면넓이 * r * k = (2πr*h) * r * k = 2πr2hk 여기에서 옆면의 넓이를 삼각뿔의 밑면 이라 하고 r을 삼각뿔의 높이라고 생각하셔서 두신건가요? 근데 삼각뿔의 높이는 파인 원기둥의 모양에 따라 길이가 계속 달라지니까 r이라고 둘수없는거 아닌가요? 그리고 k, K' 둘다 다른값인데 같다고 가정하고
    k/2 + k = 1/2
    k = 1/3 이렇게 계산이 가능한건지 묻고 싶습니다!

    • BlogIcon 다크pgmr 2017.05.18 15:12 신고 수정/삭제

      문제를 풀기 위해서 제가 이래 저래 궁리해 본 방법들을 그대로 적은 것입니다. 방법 2도 그중 하나이구요.. 지금 보니 제가 봐도 k, k'을 같다고 두는 것은 무리가 있는 것 같습니다. 모든 뿔도형은 동일한 상수를 곱해서 부피가 나온다고 가정한 것인데, 이것을 증명없이 전제하고 사용한 것은 문제가 있다고 생각합니다.

      그리고 질문하신 파인 원기둥의 부피를 계산할 때 옆면을 뿔도형의 밑면으로 둔 것이 맞습니다. 그리고 높이는 반지름이구요. 그게, 원에서 원의 넓이를 구하는 원리와 비슷한데요.. 원을 피자 조각 나누둣이 잘게 나누면 부채꼴이 되는데 이는 근사적으로 삼각형으로 볼 수 있습니다. 각각의 삼각형의 면적은 밑변 * r * 1/2인데, 이러한 삼각형의 면적을 모두 합하면 원의 면적이 됩니다. 그런데, 삼각형 밑변의 길이들을 모두 합치면 원둘레 길이인 2πr이므로 원면적 = 2πr*r*1/2 = πr2와 같이 계산할 수 있습니다 (http://darkpgmr.tistory.com/23 글 참조). 이와 마찬가지 원리로 파인 원기둥의 부피를 계산한 것입니다.

  • 상상의힘 2017.09.09 07:47 신고 ADDR 수정/삭제 답글

    회전체의 단면적을 질량 중심점으로 회전해서 원주를 곱해서 부피를 얻는 파푸스굴딘 정리를 이용하면 적분개념이 들어가서 반칙일까요?^^
    반칙이 아니라면 원뿔의 경우(높이 h, 바닥 반지름 r), 중심축으로 회전한다고 가정하면, 질량 중심점은 늘 회전축을 중심으로 1/3r 지점에 있고, 단면적은 1/2rh 인 삼각형이기 때문에 원주 2*1/3rπ.
    이렇게 하면 (1/2rh)*(2*1/3rπ)=1/3r^2hπ 로 원기둥의 1/3....
    오랜만에 도형 문제를 보니 그냥 끄적여 봤습니다. 최적화 문제 직관등 쥔장님의 포스팅이 너무 맘에 듭니다. ㅎㅎ

    • BlogIcon 다크pgmr 2017.09.11 08:32 신고 수정/삭제

      네 그렇네요. 멋진 풀이입니다. 파푸스굴딘 정리는 인터넷을 찾아보고 알았습니다. 저 때는 그런 것을 배운 기억이 없는데 요즘은 배우나 봅니다. 덕분에 좋은 것을 배웠습니다.

    • 상상의힘 2017.09.13 20:44 신고 수정/삭제

      고등학교때 배운 것 같은데, 25년이 넘었으니 요즘 얘기는 아닙니다~ ㅎㅎ
      나중에 물리를 전공하면서 central mass 를 구하느라 더 자세히 알게 되었지, 고등학교 때는 적분의 반칙 같은 풀이법으로 배웠던 것 같습니다. 마치 극한 문제에 미분을 응용하듯이요~