각에도 부피가 있을까

수학 이야기 2013.02.15 00:29

원을 한바퀴 돌면 360도라는 것은 누구나 알고 있습니다. 그렇다면 구 전체를 돌면 몇 도일까요?


흔히 2차원 평면에서는 넓이를 말하고 3차원 공간에서는 부피를 말합니다.


우리가 사용하는 각도는 2차원 평면에서만 정의되는 개념입니다. 그런데, 각도를 3차원 공간으로 확장하면 어떻게 될까요?


부피라는 개념을 각에도 적용할 수 있지 않을까요?




예를 들어서, 길쭉한 형태의 원뿔들이 무수히 많이 있습니다. 이 원뿔들을 서로 붙이는데, 원뿔의 꼭지점들이 한 점에서 만나도록 원뿔들을 서로 붙여서 구 형태를 만든다고 상상해 보겠습니다. 그러면 구를 이루는데 필요한 원뿔의 개수는 몇개나 될까요?


아시다시피 구를 이루는데 필요한 원뿔의 개수는 원뿔의 크기나 길이와는 무관하며 원뿔이 얼마나 뾰족한가, 즉, 원뿔의 뿔 부분의 각이 얼마나 되는가와만 관계됩니다.


이를 바꾸어 말하면, 각각의 원뿔들은 특정 부피의 각을 가지고 있고 이들 부피의 각들이 모두 모여서 구에 해당되는 각을 이룬다고 볼 수 있습니다. 이 때, 이 구의 각은 원에서의 360도를 3차원 부피 공간으로 확장한 개념으로 볼 수 있습니다.


물론 아직 수학적으로 각에 부피라는 개념은 없습니다. 하지만 3차원, 더 나아가서는 n차원에서 수학적으로 각을 정의하고 계산할 수 있다면 새로운 수학적 발견이 될 것입니다 ^^


예를 들어서, 어떤 원뿔 형태의 빈 공간이 있고 이 공간을 가느다란 원뿔 조각들을 이용하여 매꾼다고 했을 때, 필요한 원뿔 조각의 개수를 알고 싶다고 해 보죠. 그럴 때, '원래 빈 공간의 각의 부피가 a, 원뿔 조각의 각의 부피가 b이므로 필요한 원뿔 조각의 개수는 최대 a/b 개이다' 라는 식으로 문제를 해결할 수 있을 것입니다.


예전에 전국 고교수학경시대회에 나왔던 문제가 있습니다.


'3차원 공간에서 한 점에서 만날 수 있는 직선들은 최대 몇 개인가? 단, 어느 두 직선도 최소 30도 이상은 서로 떨어져 있어야 한다.'


당시 문제를 풀다가 시간에 쫒겨서 다 풀지는 못했지만 어쨌든 구의 부피를 뿔의 각이 30도인 원뿔의 부피로 나누는 방식으로 푸는 문제입니다. 답은 이 글을 읽는 분들의 몫으로 남기겠습니다 ^^


☞ 좀 창피하긴 하지만 아래 댓글을 보고 steradian이라고 하는 3d에서의 각의 단위가 이미 정의되어 있음을 알게 되었습니다. 찾아보니 1 steradian은 반지름이 r인 구의 표면에 면적이 r2인 도형을 그렸을 때 이 도형에 대응하는 중심각의 크기입니다. 따라서, 3d에서 구 전체에 해당하는 각은 구의 겉넓이가 4πr2이므로 4πr2/r2 = 4π steradian 입니다. steradian에 대한 자세한 내용은 위키피디아를 참조해 주세요.



by 다크 프로그래머

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  • 지식도령 2013.05.26 22:34 신고 ADDR 수정/삭제 답글

    144개???

    • BlogIcon 다크pgmr 2013.05.27 12:18 신고 수정/삭제

      음 저도 딱 떨어지게 풀진 못하지만 제 계산으로는 얼추 27개 정도 되는 것 같습니다..

    • 연금술사 2013.11.07 21:33 신고 수정/삭제

      3차원을 고려해서 3의 3제곱이라서 27개가 된다는 말씀이신가요?

    • BlogIcon 다크pgmr 2013.11.08 10:17 신고 수정/삭제

      제가 푼 방법은 꼭지각이 30도인 원뿔들을 빽빽하게 배치하여 구를 형성했을 때, 이 원뿔들의 밑면의 원 중심점들을 서로 연결하여 생성되는 삼각형의 면적을 구하고, 구의 겉넓이를 이 삼각형 면적으로 나누어서 원뿔이 몇 개나 들어갈 수 있는지를 계산했습니다.

  • 다크 2013.09.20 22:56 신고 ADDR 수정/삭제 답글

    흐미.. 구의 부피만 다시 기억해낸다면 딱 부러지게 바로 계산할수있는데.. 식좀 알려주시길... 제가 넓이는 빠삭한데 부피부분이...좀 그래요ㅠㅠ 구의 부피가 아직도 이해가 안 갑니다ㅠ

    • BlogIcon 다크pgmr 2013.09.22 09:23 신고 수정/삭제

      ㅎㅎ
      구의 부피는 원을 회전시켜서 정적분으로 구해야 하는데 참 만만치 않은 과정이라는데 동감합니다 ^^

  • 농구공 2013.12.29 11:48 신고 ADDR 수정/삭제 답글

    steradian 이라고 하는게 있지 않나요?

    • BlogIcon 다크pgmr 2013.12.31 10:07 신고 수정/삭제

      감사합니다. 몰랐던 것인데 덕분에 배우게 되었습니다.

  • 2014.03.24 13:57 신고 ADDR 수정/삭제 답글

    floor(4*pi*r^2(구의 겉면적) / pi * (r*sin(pi/12))^2 (원뿔 밑면 면적) ) /2 (구 중심을 지나 반대편 원뿔 중심을 지나는 직선과 겹치는 경우) * 2 (원뿔과 원뿔 사이에 생기는 간격에 그을수 있는 새로운 직선)

    최대 29개 정도

    • BlogIcon 다크pgmr 2014.03.25 07:20 신고 수정/삭제

      원뿔과 원뿔 사이에 생기는 간격이라는게 어떤 것인지..?
      처음에 적어주셨던 12개가 좀더 답일 가능성이 높을 것 같습니다. 5/26일자 댓글에서 제가 27개라고 한 것은 직선임을 간과하고 원뿔의 개수만 센 것이므로 직선의 개수는 약 27/2 ~ 13개 근처로 생각됩니다.

  • ctw 2016.11.15 21:05 신고 ADDR 수정/삭제 답글

    서른 마지막 나이로...
    코딩한번 경험없는 사람이 머신러닝을 처음 공부하면서
    수학공부 리뷰하고 있네요 ㅎㅎ(좋은 Study 사이트 감사합니다.)

    문제를 한 번 풀어봤는데 맞는지 모르겠네요.

    XY축의 각도 30도 이상, YZ축 각도 30도 이상, ZX축 각도 30도 이상

    3차원 직교 좌표상의 직선 방정식: X + aY + bZ = 0
    - IF b=0이라면, a값 6개(0, -1/tan30, -1/tan60, -1/tan90, -1/tan120, -1/tan150)
    >>> 180도각은 0도와 중복으로 제거
    - IF b=-1/tan30이라면, a값 6개
    - IF b=-1/tan60, -1/tan90, -1/tan120, -1/tan150, 각 a값 6개
    Total 6 x 6 = 36개