도형, 부등식의 영역에 대한 이해와 활용

수학 이야기 2013.08.26 19:10

고등학교 수학에서 배우는 도형 파트에서 부등식의 영역이라는 단원이 있습니다.


부등식의 영역.. 그게 머 어때서? 라고 할수도 있지만 제게는 매우 유용하게 활용되는 수학적 도구중 하나입니다.


두 점 A(x1, y1), B(x2, y2)가 있는데, 어떤 직선 ax + by + c = 0이 두 점 A, B 사이를 통과하는지 여부를 알려면 어떻게 해야 할까요?



방법 1. 좌표평면에 직접 직선을 그린 후 두 점을 찍어본다. 그리고 눈으로 확인한다 ?

방법 2. AB를 지나는 직선 방정식을 구한 후 ax+by+c=0과 연립하여 교점을 구한다. 구한 교점이 선분 AB 사이에 있는지 조사해 본다?


아닙니다.


그냥 간단하게(ax1 + by1 + c)*(ax2 + by2 + c) < 0 인지만 조사하면 됩니다. 그래서 식이 성립하면 AB 사이를 통과하는 것이고 성립하지 않으면 통과하지 않는 것입니다.



부등식의 영역 - 이해


고교 과정에서 배우는 부등식의 영역은 y>x가 나타내는 영역이 y = x의 위쪽 영역이라는 정도입니다.



도형방정식 y = x는 y좌표와 x좌표가 같은 점들의 집합, 부등식의 영역 y>x는 y좌표가 x좌표보다 큰 점들의 집합, y<x는 y좌표가 x좌표보다 작은 점들의 집합을 나타냅니다.


도형의 방정식이든, 부등식의 영역이든 모두 어떤 관계식을 만족시키는 점들의 집합임을 이해하는게 중요합니다.


또 하나 사실 이글에서 정말 얘기하고 싶은 내용은, 도형의 방정식 f(x,y) = 0에 의해 xy평면은 항상 2개 이상의 영역으로 나뉘게 되는데, 동일한 영역에 속하는 점들에 대해서는 f(x,y)의 부호가 같다는 점입니다.


예를 들어, 원을 f(x,y) = (x-a)2 + (y-b)2 - r2과 같이 잡았을 때, 원주상에 있는 점들을 대입하면 f(x,y) = 0, 원 내부에 있는 점들을 대입하면 f(x,y)<0, 원 외부에 있는 점들을 대입하면 f(x,y)>0가 나옵니다.


이를 좀 일반화하여 수식적으로 표현하면 다음과 같습니다.


f(x1, y1) = 0 → 점 (x1, y1)이 f(x, y) = 0 위에 있다.

f(x1, y1)*f(x2, y2)<0 → (x1, y1), (x2, y2)가 f(x,y) = 0을 경계로 서로 다른 영역에 있다.

f(x1, y1)*f(x2, y2)>0 → 점 (x1, y1)과 (x2, y2)가 서로 같은 영역에 있다.



부등식의 영역 - 활용


글 서두에 얘기한 직선과 선분의 교차 여부를 판단하는 문제는 부등식의 영역의 원리를 응용한 한 예입니다. 이 외에도 다른 몇 가지 예를 들어보겠습니다.


1. 삼각형 ABC의 세 꼭지점의 좌표 A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3)를 알고 있을 때, 어떤 점 P(a, b)가 이 삼각형의 내부에 있는지 아니면 외부에 있는지 알 수 있는 방법은?

=> 두 점 AB를 잊는 직선의 식을 구해서 점 C(x3,y3)와 점 P(a,b)를 대입하여 같은 영역에 있는지 조사한다. BC, CA에 대해서도 동일한 검사를 수행해서 세 경우 모두 같은 영역에 있다면 이 점은 삼각형 내부에 있는 것이다.

=> 사각형, 오각형, ... 에도 적용 가능한 방법입니다.


2. 3차원 공간에서 현재 나의 위치가 (x1,y1,z1)이고 어떤 평면의 방정식 f(x,y,z) = ax + by + cy + d = 0이 있을 때, 어떤 점 (x2, y2, z2)가 현재 내 위치를 기준으로 했을 때 평면 너머에 있는지 아니면 평면 안쪽에 있는지 알 수 있는 방법은?

=> f(x1,y1,z1)*f(x2,y2,z2)<0 이면 반대편에 있는 것이고, f(x1,y1,z1)*f(x2,y2,z2)>0면 같은 편에 있는 것이다.

=> 그래픽스 분야에서 은선(hidden line, hidden point) 처리 등을 할 때 활용할 수 있습니다.


3. 다른 예가 하나정도 더 있으면 균형이 맞을 것 같은데 마땅히 좋은 생각이 안나네요 ㅜㅜ



by 다크 프로그래머


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  • 지나가는손 2013.08.27 15:50 신고 ADDR 수정/삭제 답글

    안녕하세요 영상처리에 대해 공부하는 학생입니다
    TLD부터 시작해서 지금까지 여러 게시물 잘보고 도움 많이 얻었습니다
    감사합니다
    그런데 제가 이때까지 공부한 것 중에 들로네 다각형과 보로노이 테셀레이션이 잘 이해가 가지 않고 관련자료도 미비한 것 같더군요.
    혹시 여유가 되신다면 이에 대해서도 포스트 부탁드려도 될까요?

    • BlogIcon 다크pgmr 2013.08.27 22:35 신고 수정/삭제

      안녕하세요. 기회가 되면 관련 글을 올리도록 하겠습니다.
      그런데, 저도 잘 모르는 내용이라 좀 찾아보고 공부를 해서 글을 올려야 겠네요. 그래서 아마도 간단히 개념을 설명하는 정도의 글이 될 것 같습니다. 혹시 기본적인 개념 외에 관련하여 특별히 관심이 있거나 알고싶으신 부분이 있다면 알려주시면 글을 쓸 때 참고토록 하겠습니다.

    • 지나가는손 2013.08.28 11:49 신고 수정/삭제

      감사합니다
      먼저 인터넷에 올라온 들로네 삼각형을 구하는 알고리즘은 대부분 너무 복잡하거나, 적당히 설명되어 있어서 알듯말듯해 이부분을 설명해주신다면 고맙겠습니다
      또한 들로네 삼각형과 함께 보로노이 테셀레이션이 군집, 분류, 3D 보정, 추적에 쓰인다고 나오던데 들로네 삼각혀의 어떤 특징을 어떻게 활용해서 가능한지에 대한 서술이 부족하였습니다. 이 부분 또한 부탁드립니다

    • BlogIcon 다크pgmr 2013.08.29 07:31 신고 수정/삭제

      네 알겠습니다.
      관련하여 위키피디아에 있는 몇몇 글들을 읽어보았는데 상당히 흥미롭네요. 제게도 좋은 공부가 될 것 같습니다.