도형, 부등식의 영역에 대한 이해와 활용

고등학교 수학에서 배우는 도형 파트에서 부등식의 영역이라는 단원이 있습니다.

부등식의 영역.. 그게 머 어때서? 라고 할수도 있지만 제게는 매우 유용하게 활용되는 수학적 도구중 하나입니다.

두 점 A(x1, y1), B(x2, y2)가 있는데, 어떤 직선 ax + by + c = 0이 두 점 A, B 사이를 통과하는지 여부를 알려면 어떻게 해야 할까요?

방법 1. 좌표평면에 직접 직선을 그린 후 두 점을 찍어본다. 그리고 눈으로 확인한다 ?

방법 2. AB를 지나는 직선 방정식을 구한 후 ax+by+c=0과 연립하여 교점을 구한다. 구한 교점이 선분 AB 사이에 있는지 조사해 본다?

아닙니다.

그냥 간단하게(ax1 + by1 + c)*(ax2 + by2 + c) < 0 인지만 조사하면 됩니다. 그래서 식이 성립하면 AB 사이를 통과하는 것이고 성립하지 않으면 통과하지 않는 것입니다.

부등식의 영역 - 이해

고교 과정에서 배우는 부등식의 영역은 y>x가 나타내는 영역이 y = x의 위쪽 영역이라는 정도입니다.

도형방정식 y = x는 y좌표와 x좌표가 같은 점들의 집합, 부등식의 영역 y>x는 y좌표가 x좌표보다 큰 점들의 집합, y<x는 y좌표가 x좌표보다 작은 점들의 집합을 나타냅니다.

도형의 방정식이든, 부등식의 영역이든 모두 어떤 관계식을 만족시키는 점들의 집합임을 이해하는게 중요합니다.

또 하나 사실 이글에서 정말 얘기하고 싶은 내용은, 도형의 방정식 f(x,y) = 0에 의해 xy평면은 항상 2개 이상의 영역으로 나뉘게 되는데, 동일한 영역에 속하는 점들에 대해서는 f(x,y)의 부호가 같다는 점입니다.

예를 들어, 원을 f(x,y) = (x-a)² + (y-b)² - r²과 같이 잡았을 때, 원주상에 있는 점들을 대입하면 f(x,y) = 0, 원 내부에 있는 점들을 대입하면 f(x,y)<0, 원 외부에 있는 점들을 대입하면 f(x,y)>0가 나옵니다.

이를 좀 일반화하여 수식적으로 표현하면 다음과 같습니다.

f(x1, y1) = 0 → 점 (x1, y1)이 f(x, y) = 0 위에 있다.

f(x1, y1)*f(x2, y2)<0 → (x1, y1), (x2, y2)가 f(x,y) = 0을 경계로 서로 다른 영역에 있다.

f(x1, y1)*f(x2, y2)>0 → 점 (x1, y1)과 (x2, y2)가 서로 같은 영역에 있다.

부등식의 영역 - 활용

글 서두에 얘기한 직선과 선분의 교차 여부를 판단하는 문제는 부등식의 영역의 원리를 응용한 한 예입니다. 이 외에도 다른 몇 가지 예를 들어보겠습니다.

1. 삼각형 ABC의 세 꼭지점의 좌표 A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3)를 알고 있을 때, 어떤 점 P(a, b)가 이 삼각형의 내부에 있는지 아니면 외부에 있는지 알 수 있는 방법은?

=> 두 점 AB를 잊는 직선의 식을 구해서 점 C(x3,y3)와 점 P(a,b)를 대입하여 같은 영역에 있는지 조사한다. BC, CA에 대해서도 동일한 검사를 수행해서 세 경우 모두 같은 영역에 있다면 이 점은 삼각형 내부에 있는 것이다.

=> 사각형, 오각형, ... 에도 적용 가능한 방법입니다.

2. 3차원 공간에서 현재 나의 위치가 (x1,y1,z1)이고 어떤 평면의 방정식 f(x,y,z) = ax + by + cy + d = 0이 있을 때, 어떤 점 (x2, y2, z2)가 현재 내 위치를 기준으로 했을 때 평면 너머에 있는지 아니면 평면 안쪽에 있는지 알 수 있는 방법은?

=> f(x1,y1,z1)*f(x2,y2,z2)<0 이면 반대편에 있는 것이고, f(x1,y1,z1)*f(x2,y2,z2)>0면 같은 편에 있는 것이다.

=> 그래픽스 분야에서 은선(hidden line, hidden point) 처리 등을 할 때 활용할 수 있습니다.

3. 다른 예가 하나정도 더 있으면 균형이 맞을 것 같은데 마땅히 좋은 생각이 안나네요 ㅜㅜ

by 다크 프로그래머