원의 면적과 구의 부피

본 포스팅은 적분의 기본 개념을 설명한 고구마와 적분 글의 연장선상에 있으며 적분의 개념이 수학적 문제들을 해결하는데 어떻게 활용될 수 있는지 몇 가지 예를 들어 설명하고자 합니다. 먼저 고구마와 적분 파트를 읽어보시길 추천합니다.

부채꼴의 호의 길이를 알면 부채꼴의 면적을 구할 수 있습니다. 또한 원의 둘레의 길이를 알면 원의 면적을 손쉽게 구할 수 있습니다. 마찬가지로 구의 겉넓이를 알면 구의 부피도 금방 나옵니다. 모두 적분의 개념만 적용하면 눈 깜작할 사이에 계산할 수 있는 문제들입니다.

먼저, 반지름이 1, 호의 길이가 2인 부채꼴이 있다면 이 부채꼴의 넓이는 얼마일까요?

부채꼴을 삼각형이라 놓고 밑변(호) x 높이(반지름) x 1/2 로 풀면 바로 답이 나옵니다. 그래서 답은 2 x 1 x 1/2 = 1이 됩니다. 부채꼴은 삼각형이 아닌데 왜 삼각형으로 놓고 푸는 걸까요?

위 그림과 같이 피자 조각을 나누듯 부채꼴을 잘게 나누면 거의 삼각형처럼 볼 수 있습니다. 이 때 삼각형의 밑변은 나뉘어진 호의 길이가 되며 높이는 반지름이 됩니다. 즉, 부채꼴을 나눈 한 조각의 넓이는 li x r x 1/2로 근사됩니다 (단, li는 조각의 호의 길이, r은 부채꼴 반지름, l은 원래 부채꼴 호의 길이) . 따라서 원래 부채꼴의 넓이는 이들 조각을 다 합쳐서

l1 x r x 1/2 + l2 x r x 1/2 + ... + ln x r x 1/2

= (l1 + l2 + ... + ln) x r x 1/2

= l x r x 1/2

이 됩니다.

그런데, 한편으로 이런 의문도 듭니다.

아무리 잘게 잘라도 부채꼴은 부채꼴이지 왜 삼각형이냐?

잘게 자른다고 부채꼴이 삼각형이 되는건 아니겠지만 아래 그림과 같이 면적은 같은 것 같습니다. 

이제 원으로 넘어가 보겠습니다.

부채꼴과 마찬가지입니다. 원의 반지름이 r, 원의 둘레의 길이가 l이라면 원의 면적은 l x r x 1/2 = lr/2입니다.

즉, 원의 면적은 원의 반지름 x 원의 둘레의 길이 / 2 인 셈입니다.

(이걸 역으로 생각하면 원의 둘레의 길이 = 2 x 원의 면적 / 반지름이 됩니다)

그런데, 원의 둘레의 길이는 l = 2×pi×r이므로,

원의 면적 = l×r/2 = (2×pi×r)×r/2 = pi×r^2 이 됩니다.

마직막으로 구에 대해 살펴보겠습니다.

구는 평면이 아닌 공간에서 생각해야 합니다. 이번에는 어떻게 나누면 될까요?

그림으로 그리기가 대략 난감하므로 마음속에서 상상의 그림을 그려주시기 바랍니다. ^^

구의 중심을 꼭지점으로 하는 삼각뿔 형태로 조각을 내 보도록 하겠습니다.

원뿔, 사각뿔, 오각뿔 모두 관계 없습니다만, 빈 공간 없이 촘촘하게 조각을 내려면 삼각뿔이 가장 적합합니다.

삼각뿔의 부피는 밑면의 면적 x 높이 x 1/3입니다. (왜 그럴까요?)

삼각뿔로 잘게 쪼개면 삼각뿔의 높이를 구의 반지름과 같게 생각할 수 있습니다.

그리고 삼각뿔들의 밑면의 면적을 모두 합하면 구의 겉넓이가 됩니다.

따라서 삼각뿔들의 부피의 합은 구의 겉넓이 x 반지름 x 1/3이 됩니다.

즉, 구의 부피 = 구의 겉넓이 x 구의 반지름 x 1/3인 셈입니다.

그런데 문제는 구의 부피나 구의 겉넓이 둘 중의 하나는 알고 있어야 하겠네요 ^^;

제 기억으로 구의 겉넓이는 4*pi*r^2, 부피는 4/3*pi*r^3였던 것 같은데 아마도 맞겠죠?

by 다크 프로그래머