역수와 역행렬

수학 이야기 2017.08.12 15:48

3의 역수는? 1/3


그럼 '역수'란? ...


역수를 구하는 방법은 알아도 역수가 무엇인지는 모르는 경우가 많다.


마찬가지로 역행렬이 무엇인지 물어보면,


학생 1) 1/(ad-bc) * [d -b; -c a]


학생 2) 곱해서 항등행렬(I)이 나오는 행렬


물론 두번째 대답이 정확한 대답이다. 만일, 이와 같이 바로 답할 수 있다면 이 학생의 수학실력이나 앞으로의 공부에 대해서는 걱정할 필요가 없을 듯 하다.


그런데, 학생 2와 같이 대답한 경우에도 사실은 한번 더 확인할 필요가 있다. 그걸 그냥 지식처럼 알고 있는 것인지, 아니면 정말 이해한 것인지


만일 대학생에게 두 행렬의 곱 AB의 역행렬이 무엇이냐고 물어보면 아마도 대부분 B-1A-1라고 자신있게 대답할 것이다 (물론, A-1B-1인가? 하는 학생도 분명 있다). 하지만, B-1A-1가 역행렬인 이유를 증명해봐라 하면 대부분 당황해 한다.


'증명'이라는 말만 들어도 사고기능이 정지하는 경우도 있고 역행렬의 의미를 제대로 이해하고 못한 경우도 있을 것이다. 하지만 그 증명은 정말 간단하다.


증명: AB에 B-1A-1를 곱하면 AB * B-1A-1 = I이다. 따라서, AB의 역행렬은 B-1A-1이다. 끝.


역행렬의 정의를 정확히 이해하고 있다면 당연히 풀수 있는 문제이다. 또한 역행렬의 정의를 안다면 AB의 역행렬이 A-1B-1인지 B-1A-1인지 혼동할 이유도 암기할 이유도 없다. 그리고, 정의로부터 kA의 역행렬은 1/kA-1, ABC의 역행렬은 C-1B-1A-1, PAP-1의 역행렬은 PA-1P-1, 대각행렬 diag{c1, c2, ..., cn}의 역행렬은 diag{1/c1, ..., 1/cn}임도 손쉽게 알 수 있다.


☞ 어떤 수의 역수는 자신과 곱해서 (곱셈에 대한 항등원인) 1이 나오는 수이다


by 다크 프로그래머


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  • 질문 2017.08.15 09:35 신고 ADDR 수정/삭제 답글

    안녕하세요. 오랜만에 수학 보면서 블로그 방문 자주 하고 있습니다. 먼저 감사드립니다.
    mahalanobis distance를 보다 역행렬 올려주셔서 두개 묶어서 질문 드리려고 합니다.
    1차원의 MD는 이해가 되었는데, 2차원의 MD에서의 식이 잘 이해가 되지 않아 혹시 아실까 해서 여쭤봅니다. transpose와 공분산의 역행렬은 왜 들어가는지..모르겠습니다..ㅠㅠ

    • BlogIcon 다크pgmr 2017.08.15 21:26 신고 수정/삭제

      안녕하세요. 질문하신 내용에 대한 정확한 설명은 다소 긴 수학적 설명과 배경설명을 필요로 합니다. 간단히 댓글로 설명하기에는 어려움이 있습니다. 일단 직관적으로만 설명해보면 열벡터 x가 있을 때 x^T*x는 x의 길이(norm)의 제곱이 됩니다. 따라서, 평균이 벡터 m이라고 하면 (x-m)^T*(x-m)은 데이터 x와 평균까지의 거리^2(Euclidean distance)입니다. 그런데, MD는 데이터와 평균까지의 거리를 그 방향으로의 표준편차로 나눈 값입니다. 공분산행렬의 역행렬을 곱하는 것은 나누기의 의미를 갖습니다. 즉, 공분산 행렬 Σ에 대해, (x-m)^T * Σ^-1 * (x-m)은 x와 평균관의 거리의 제곱을 분산으로 나누는 의미가 됩니다. 따라서 여기에 sqrt(제곱근)를 씌우면 MD가 됩니다.

  • 질문2 2017.08.15 15:47 신고 ADDR 수정/삭제 답글

    안녕하세요, 저도 요즘 아주 블로그 잘 보고 있습니다. 데이터 분석을 하던중 MLE(최대가능도)에 대한 이론이 많이 나오더라구요..... MLE,,,이해할 듯 말듯 합니다... 이론적으로 이해를 하려니 와닿지가 않고,, 예를 들어 어떻게 이해해야할까요?

    • BlogIcon 다크pgmr 2017.08.15 21:27 신고 수정/삭제

      MLE에 대해서는 http://darkpgmr.tistory.com/119 글을 보시면 좋을 것 같습니다.